吴 晗，薛 磊，徐开芸，朱 昊

（南京工程学院 自动化学院，江苏 南京 211167）

0 引言

近年来，机器人已经成为自动控制领域研究的热点之一，具有广泛的发展前景。球形机器人是一种欠驱动运动载体，其密封性良好。其独特的运动方式使得其转弯半径为零，能实现任意时刻任意方向的移动，动作敏捷，高适航性。它适合在室内导航、社会服务和军事等狭窄、拥挤的环境中执行任务，且能耗较低。本文研究球形机器人速度控制问题，为该系统设计双闭环PID控制器，在Matlab环境下Simulink中仿真调试，实现球形机器人全方位的运动。

1 球形机器人结构设计与工作原理

图1 球形机器人的结构图Fig.1 Structure diagram of a spherical robot

球型机器人的结构如图1所示。包括透明球体外壳、控制模块（主控芯片STM32F103）、运动模块、通信模块（HC-05蓝牙模块）以及电源模块。其中，球形机器人的外壳由两个半球组成，在中轴链接处安装磁铁将两个半球合成一体。球体内部放置自平衡双轮小车，小车运动机构由直流无刷电机、电机驱动模块TB6612、陀螺仪MPU6050以及万向轮组成。驱动双轮小车会导致整个球体重心位置改变；陀螺仪采集球形机器人的姿态传送给控制器，控制器运用控制算法实时调整球体姿态，使其重心变化保持在球形机器人期望运动的方向，从而实现控制球体的运动方向。

2 球形机器人系统建模

球形机器人系统是欠稳定的非线性系统，是典型的倒立摆模型[1]。现采用一级倒立摆模型分析球形机器人的运动过程，应用牛顿力学方法建立了一级倒立摆模型。模型中运动目标为刚体系统，系统抽象成仅由小车和匀质球体组成的运动系统。运动中忽略空气阻力、静摩擦力、双轮小车旋转时的摩擦力等次要因素。在以上前提条件下，球形机器人的受力分析如图2所示，其中a为小车运动加速度，θ为摆杆与垂直向上方向的夹角，F为小车水平方向的力，m是球的质量。

图2 球型机器人的受力分析Fig.2 The force analysis of the spherical robot

为了保证球形机器人稳定，通过控制车轮作加速运动，球身的惯性力与车轮的加速度方向相反，大小成正比，此时球的受力为：

由于θ很小，为此作线性化处理。假设负反馈控制是车轮加速度 a与偏角 θ成正比，比例为 k1，如果 k1＞g，那么力的方向与位移方向相反。

为了使得球形机器人能尽快地在垂直位置稳定，需增加额外的阻力，此力与角速度成正比，比例为k2，方向相反。此时，球受到反作用力为：

由此，可以得到车轮的加速度为：

据此可以构建球形机器人数学模型[2]，并建立速度的比例微分负反馈控制[3]。假设球形机器人的重心离地面水平高度为L，外力干扰引起球形机器人产生的角加速度为x（t），沿着垂直于球形机器人方向受力分析，可以得到球形机器人偏转角与车轮运动加速度a（t）以及外力干扰加速度x（t）之间的运动方程为：

当角度θ很小时，运动方程式（4）可简化为：

当球形机器人静止时，其重心偏移会导致不稳定，因此需要引入负反馈，得到相应传递函数为：

3 球形机器人双闭环PID控制设计

由于球形机器人系统的非线性特点，必须设计相应的控制器，确保系统稳定运行。

3.1 球形机器人速度分析

球形机器人的运行速度，由内置双车轮小车的转动速度决定，相应的运动轨迹示意如图3所示。假设球形机器人外壳为圆C1，周长为S1，直径D1=16cm；双轮小车在球形机器人内运动轨迹形成的圆为C2，周长为S2，直径D2=14.5cm；双轮小车的车轮为圆C3，周长为S3，直径D3=4.5cm。

图3 球形机器人内置双车轮小车的运动轨迹示意图Fig.3 Schematic diagram of the trajectory of a dual wheel car in spherical robots

当双轮小车沿圆C2轨迹行走1圈时，由公式（7）可以推算出双轮小车对应在C3需转3.22圈。当双轮小车沿圆C1转动1圈时，由公式（8）可以推算出小车沿圆C2行走1.1圈，那么对应的圆C3转动3.45圈。

设圆 C1运动速度为 V1（r/min），圆 C2运动速度 V2（r/min），圆 C3对应的速度为 V3（r/min），则：

由式（10）和（11）可得：

可见，双轮小车运动速度为球壳运动速度的3.54倍。

3.2 球形机器人双闭环PID控制器设计

由上述速度分析可知，通过控制双轮小车速度就可以调节球形机器人的运行速度。这里球形机器人速度控制主要实现匀速、加速和减速。闭环控制的主要环节包括测量、比较和执行。测量的关键是准确测出被控变量的实际值；比较是被控变量的实际值与期望值相比较得到偏差；执行是利用这个偏差调节控制对象，使其运动状态接近希望状态。这里采用工程实际中应用最为广泛的增量式PID控制算法为[4]：

式中：Kp—比例增益；Ki=KpT/Ti—积分增益；Kd=KpTd/T—微分增益；e（k）—第k次采样时刻控制器的输入值；u（k）—第 k 次采样时刻控制器的输出值；△u（k）—第k次采样时刻控制增量值。

从式（13）可见，控制增量△u（k）仅与最近 3次的采样值有关，所以增量式PID算法对控制量的计算影响较小，精度较高。

当球形机器人运动时，球体自身姿态随之改变。陀螺仪装置测出球体姿态偏角作为测量值，与最近3次的采样值进行比较，得出的值代入式（13）中经计算机加权处理获得姿态偏角的变化量输出，此变化量控制球形机器人运动方向。

双闭环PID控制，即球体姿态偏角和转速双负反馈控制。负反馈的两个调节器都采用上述增量式PID控制器，实时调节机器人偏角和速度，达到较好的稳定控制效果。

球形机器人的双闭环PID控制系统框图如图4所示，给定双轮小车转速信号与转速反馈信号比较后送给速度控制器PID1，经过PWM1控制电机转速，构成速度控制环。陀螺仪测得球体姿态偏角变化量送给角度控制器PID2控制球形机器人运动方向，是角度负反馈。从而构成球形机器人的双闭环PID控制系统。

图4 球形机器人双闭环PID系统框图Fig.4 Block diagram of double closed loop PID system for spherical robot

4 球形机器人双闭环PID控制仿真

在Matlab环境下Simulink中搭建球形机器人双闭环PID控制系统仿真结构图如图5所示。

图5中在输入Step阶跃给定信号后，Scope示波器中显示输出结果波形如图6所示，双轮小车大约在0.6s后达到稳定转速100r/min；此时小车内环的偏角也达到了稳定状态，球形机器人能够稳定运行。可见，双闭环PID控制系统能够有效地控制球形机器人的运动。

图5 球形机器人双闭环PID控制系统仿真结构图Fig.5 Simulation structure of double closed loop PID control system for spherical robot

图6 球形机器人转速和偏角仿真曲线Fig.6 Simulation curve of rotational speed and angle of spherical robot

5 结论

本文设计了一种基于自平衡双轮小车的球形机器人结构，基于球形机器人的运动状态，分析了其运动速度特征，设计了双闭环PID控制策略，解决了球形机器人的运动速度控制问题。使用仿真工具Simulink对系统进行了仿真分析，结果表明数字PID控制方法能够有效地对球形机器人进行控制。在此基础上，研制了试验样机，相应的实测试验也验证了方案的可行性。