范建中

(太原师范学院 物理系,山西 晋中 030619)

0 引言

1 固体热容的经典理论

假设固体是经典的并且在温度比较高的情况下，也就是固体的各个原子在晶格点阵的位置上固定，并且因为各原子之间有相互作用力，所以各个原子做微小振动.又因为振动很小，所以可以近似地认为这些原子在做三维简谐振动.最后假设每个原子是独立做简谐振动的.

设固体在温度为T时处于平衡态.那么，各个振动自由度的能量就是kT.因为固体中原子的个数为N，则固体的能量为

如固体为一摩尔，则能量为

其中R=NAT，所以，固体的摩尔热容为

CV=3R

能量均分定理也不是在任何条件下都适用的.只有在温度足够高时，经典近似才有效，才可以使用能量均分定理计算固体的热容.这是因为当振子的能量不连续时，能量为

所以可以得出结论，只有当高温时，经典的能量均分定理才可以用.

2 固体热容量的实验规律[1]

固体热容量在室温时符合杜隆-珀替定律，也就是说固体的摩尔热容量是3R.

但是在低温时，固体热容量不同于室温时的常数，其变化规律是一个函数：

CV=rT+AT3

其中r和A为固体的特性常数.

3 固体热容量的爱因斯坦理论

爱因斯坦模型是最一种简单的理想固体模型.爱因斯坦模型认为固体是由N个振动频率相同的三维线性谐振子组成的.并且谐振子的能量是量子化的.每一个振动状态其能量为：

ħω,(n=0,1,2…)

固体的总能量为：

比热为：

上式说明当温度比较低时，固体热容量与温度呈的函数形式为指数形式.这与实验结果不符.实验表明，当温度比较低时，固体热容量与温度呈的形式为三次方形式.

4 固体热容量的德拜理论

德拜模型是在爱因斯坦模型的基础上对模型的补充和修正.德拜模型假设原子振动的频率不再单一，德拜认为原子的振动可以由各种频率的弹性驻波构成.而固体整体的振动是所有弹性驻波的叠加[3]

当T≫ΘD时，CV≈3Nk，与经典的情况一样.

德拜模型得出的这一固体热容函数与实验规律一致.德拜模型在温度很高和温度很低时与实验结果一致，但是，在温度处于中间区域时又不完全吻合.

5 金属固体的热容量

金属固体由原子和自由电子气组成，在金属固体中，当T>3K时，用德拜模型计算固体热容量与实验结果一样，可是当T<3K时，因为金属固体中存在自由电子，所以不能用德拜T3的定律.

最初研究金属自由电子的时候，洛仑兹把自由电子当成是理想气体，并且符合经典能均分定理.这样自由电子气对金属固体热容量的影响为3Nk/2，这明显与实验不符[4].在高温时，自由电子气对金属热容量的影响可以忽略不计.所以，我们来研究一下在低温情况下，自由电子气对固体热容量的影响.

根据费米-狄拉克分布，在T>0的情况下，参与热运动的电子只有在费米球面附近3kT宽度内的.则热运动的电子数为

上式利用

以及

依据能量均分定理，因为每一个电子的热容量的贡献为3k/2，所以金属固体的热容中自由电子产生的影响为

从定性分析可得，当温度处于室温时，金属固体中自由电子气对金属固体贡献的热容量要远远地小于经典情况下的值3Nk/2.

下面来定量地计算金属固体中自由电子气对热容量的影响，根据费米-狄拉克统计分布，自由电子气的化学势与电子总数之间存在一定的关系

自由电子的内能为

将两个积分统一为费米——狄拉克积分：

式中的η(ε)可以是任意满足f(0)=0的函数.并且

取η(ε)=ε1/2，那么

将上式用μ0代替μ，可以得到

取η(ε)=ε3/2，则

将上面关于μ的表达式代入，并且(1+x)n=1+nx得：

所以固体中自由电子气对金属固体热容量的贡献为

可以看出，此结果与之前的定性分析只差了一个系数.

6 结论

本文运用能量均分定理，推出了经典固体热容量，通过比较实验可得，固体热容量仅在高温时与实验结果符合，低温时不符合.所以能量均分定理有其局限性.首先用爱因斯坦模型对固体热容进行了修正，发现温度高时，与实验结果比较接近，但是在热力学温度接近绝对零度时，与实验结果还是有差距；接着用德拜模型对固体热容进行进一步的修正，发现结果与实验结果符合的较好.但是，对于金属固体的热容量来说，由于金属固体由原子实构成的晶格和自由电子气组成，在低温时，则需要考虑自由电子气的贡献.所以，在高温时能均分定理是普适的，但是在低温时就不适用了.