安 莹

(晋中师范高等专科学校,山西 晋中 030600)

0 引言

人们通过采取了很多措施保护野生动物,例如在不同的斑块之间建立通道,便于种群的扩散或迁移,这样种群就会有更多的觅食机会和繁殖机率,建立一些避难所来保护种群不被捕获等.基于此方面的研究已有许多研究成果[1].本文是在文献[2]的基础上,研究了一类带有扩散和时滞的捕食系统,模型如下:

(1)

xi(t)=φi(t)≥0,y(t)=φ(t)≥0,t∈[-τ,0],φi(0)≥0,φ(0)≥0(i=1,2).

(2)

在此模型中,捕食者在两个斑块间可以自由移动,但食饵种群在两斑块间的移动存有障碍.其中xi(t)表示第i个斑块食饵种群在t时刻的密度,ri>0表示斑块上食饵种群的内禀增长率;s>0表示捕食者种群的死亡率;Di>0表示食饵种群从斑块j向斑块i的扩散系数,且假设Di与差分xj(t)-xi(t)成正比,ci>0表示食饵向捕食者的转化系数,且Di≥ci,(i=1,2);τ>0表示捕食者的消化时间或妊娠时间;a>0为常数.

1 基本概念和引理

定义 如果存在δi>0,Mi>0,(i=1,2),使系统(1)满足初始条件(2)的每一个解(x1(t),x2(t),y(t)),有

则称系统(1)是持续生存的.

引理1[2]如果ri>0,Di>0(i=1,2),ξ<1,则系统

(3)

存在唯一的正平衡点是全局渐近稳定的.

引理2[1]考虑下面方程

x(t)=ax(t-τ)-bx(t).

(4)

其中a,b,τ>0,则有

引理3如果系统(1)满足初始条件,则该系统由正初始值出发的解有界且保持为正.

设X是一个完备度量空间,假设X0⊂X,X0⊂X且X0∩X0=.T(t)是X上的C0半群,且满足

T(t):X0→X0T(t):X0→X0.

(5)

记Tb(t)=T(t)|X0,Ab是Tb(t)的全局引子.

引理4[1]假设T(t)满足(5),且满足

(i)存在t0>0,当t>t0时,T(t)是紧的.

(ii)T(t)在X中是耗散的.

(iv)Ms(Mi)∩X0=,i=1,2,…,n.

则X0是一致排斥X0,即存在ε>0,使得对任意的x∈X0,有

d是T(t)x到集合X0的距离.

2 平衡点性态与持续生存

定理3.1

(A)平衡点E0(0,0,0)不稳定.

(B)当c1+c2-s>as时,平衡点E1(1,1,0)不稳定;而当c1+c2-s

证明 (A)平衡点E0(0,0,0)的Jacobian矩阵是:

其特征方程是(λ+s)[λ2-(r1+r2-D1-D2)λ+r1r2-r2D1-r1D2]=0可知λ=-s是一负根,考虑上式的第二部分:

λ2-(r1+r2-D1-D2)λ+r1r2-r2D1-r1D2=0.

若r1r2-r2D1-r1D2>0,则r1+r2>D1+D2,可知此方程有两个正实部的根.

若r1r2-r2D1-r1D2<0,则可知此方程有一个正、负根.

若r1r2-r2D1-r1D2=0,则r1+r2>D1+D2,可知此方程有一个正根和一个零根.

从而由以上分析可知,E0(0,0,0)的特征方程至少有一个正实部的根,于是平衡点E0(0,0,0)不稳定.

(B)平衡点E1(1,1,0)的特征方程是

定理3.2c1+c2

定理3.3如果(i)an>1,(ii)c1+c2-s

定理3.4若c1+c2<(1+a)s,则系统(1)是持续生存的.