王 蕾

(太原师范学院 数学系，山西 晋中 030619)

0 引言

可积系统作为孤立子理论的重要内容，在数学、物理、生物、通信等自然领域也得到了广泛深入的研究和应用.虽然孤立波的首次观察已经超过一个半世纪，但可积系统的研究仅仅是在反散射方法建立以后才真正引起科学家的重视.

目前在众多学者的努力下，已经得到了很多可积系统，如TD族、TA族、AKNS族、KN族、WKI族、BPT族及TB族等[1]，而且进一步得到了某些可积系统的多可积耦合系统，如可积耦合系统、双可积耦合及三可积耦合系统.

本文将利用半直和李代数的方法，选取一种不同的块矩阵来研究AKNS孤子族的双可积耦合系统.

1 AKNS孤子族

考虑如下等谱问题[1]：

(1)

其中λ是谱参数，p，q是两个独立变量.令

(2)

由静态零曲率方程

Vx=[U，V],

(3)

得

(4)

故由相容性条件

Utm-Vx[m]+[U，V[m]]=0，m≥0.

(5)

其中

φtm=Vx[m]φ，V[m]=(λmV)+，m≥0.

可导出AKNS族的孤子方程：

(6)

2 AKNS族的双可积耦合系统

为了建立双可积耦合系统[2]，需选择扩大的谱矩阵，常见的有：

其中α，β是给定的任意常数.

文献[3]用块矩阵Class1得到AKNS族的双可积耦合系统，而本文将利用块矩阵Class2[4]来构造其双可积耦合系统.

令扩大的谱矩阵为

(7)

其中

(8)

同上，为了解扩大的零曲率方程

(9)

令

(10)

其中V为式(2)，且

(11)

(12)

则由(9)可得

即

相对应的递推关系为方程(4)及

(13)

(14)

其中i≥0.

对任意整数m≥0,令扩大的Lax矩阵为

(15)

(16)

可化为

及(5)的AKNS系统.故可得其补充系统为

(17)

其中

由此得到AKNS族的双可积耦合系统为

(18)

显然，当r=s=v=w=0时，该系统为AKNS族(6).

3 小结

本文主要利用半直和李代数的方法，选取一种不同的三角块矩阵来研究AKNS孤子族的双可积耦合系统.在之后的研究中将研究其三可积耦合系统及与它们相对应的Hamiltonian结构，并可运用此方法研究其他孤子族，如KdV族、TB族、TC族、KN族等的多可积耦合系统.