◇王永春

总复习是重要的，如果把总复习搞好了，不但巩固了知识和技能，还能使学生在数学思想方法、思维方式和学习方式上逐步与初中接轨，为初中打好基础。那么，如何进行总复习，才能达到事半功倍的效果呢？本文从数学认知、数学思想方法和能力等维度，重点以推理思想和运算能力的培养为例进行简要阐述。

一、数学认知结构的构建

数学认知结构来源于数学知识结构，因此，数学教学的重点不仅仅是对概念的理解和掌握，更重要的是探索规律、建立概念间的联系，使得知识系统化、结构化，形成数学知识结构，再千方百计地把数学知识结构转化为学生的数学认知结构。

在数学认知这个维度中，主要包括三个方面：数学概念、数学规律、数学关系。为什么确定这三个方面呢？我们知道，思维的形式有概念、判断、推理；数学的基本思想有抽象、推理、模型。推理既是思维的形式，又是数学的基本思想，由此可知推理的重要性。推理固然重要，但是要基于学生建立正确的概念、规律和完善的关系，因此要把数学概念、数学规律、数学关系作为数学认知结构的主要方面。

1.数学概念的复习。

有研究表明：学生的数学成绩与对数学概念的理解和表征水平呈正相关。因此，核心素养下的运算和推理能力在强调解决问题的同时，仍然要加强对概念的理解，加强数学运算能力的培养，这是解决问题的基础。

（1）整数、小数的复习。

整数、小数一般采用十进位值制计数系统，其核心要素有两个：数字符号和位值制（数位）思想，即把十个数字符号中的若干个放在不同的数位上，就表示了一个数的大小。整数是小数的一部分，把握了这个本质，才有利于理解算理和算法。如11111.1111这个数，表示10000+1000+100+10+1+0.1+0.01+0.001+0.0001，从左向右，单位越来越小，相邻两个单位是10倍关系。这样就把整数与小数统一起来，小数的计算就可以通过与整数类比，达到算理和算法迁移的目的。如 0.72×5=（72 个 0.01）×5=360 个0.01=3.6，即小数乘法与整数乘法的算理是相同的，都是求有多少个计数单位。总复习阶段学生对整数和小数的认识要达到这个层次。

（2）分数与百分数的复习。

分数产生于度量和除法计算的需要，因此，分数也是从表示一个量的大小中抽象出来的，即分数与整数、小数类似，也是表示大小的数，这样的分数可以带计量单位。另外，分数还可以表示两个数（量）之间的倍数（比例）关系，如苹果的个数是梨的，即苹果的数量∶梨的数量=1∶3，这样的分数不能带计量单位，百分数就是这样的分数中分母是100的分数。小数一般表示数量的大小，分数有两种含义，百分数是特殊的分数，表示两个数（量）之间的倍数（比例）关系。总复习阶段要让学生认识这几种数的内涵和价值，由此打通它们的计算和应用。

（3）式与方程的复习。

在小学阶段，运用算术方法解决问题是传统的重要方法，可以提高学生的思维能力。那么，为什么还要在小学学方程呢？为什么要求学生用等式的性质解方程？因为初中阶段解决的实际问题更复杂，运用传统的算术方法很难解决，方程是解决复杂的实际问题的基本方法。为了更好地与初中衔接，在小学高年级，教师应把列方程作为解决问题的主要方法让学生掌握，要求学生用等式的性质解方程，使学生认识到它的重要性。

另外，复习用字母表示数量和数量关系，要加强代数思维的培养。如某校六年级一班男生有a人，女生有b人，一共有（a+b）人，这个a+b既是加法运算，又是加法运算的结果，使学生体会从常量到变量，从具体的数到抽象的数的运算的转变。

（4）四则运算的复习。

四则运算要加强复习各种运算的意义。任何具体的数的运算，包括四则混合运算，本质上都是把一些数按照一定的法则和顺序重新组合，最终求得一个结果，这个结果还是一个数；即使不计算最终的结果，这个式子也可以表示一个数。无论乘法还是除法，每一步计算的结果表示多少，写在什么位上，这需要理解十进位值制的计数原理。当然，对于有些学习困难的学生，需要借助几何直观来理解算理和算法。如：有13排小棒，每排32根，一共有多少根？那么学生就应该理解这样的题用加法算比较麻烦，用乘法口算容易出错，所以要用乘法竖式计算，即13要与组成32的两个数字分别相乘，分别表示有多少个十和一，每步计算结果超过十的要进位；同时理解每步乘错了就会把小棒的数量算错，哪个数字漏乘，就会少算一部分小棒。因此乘错和漏乘都是不可以的。

（5）图形的复习。

根据多元表征理论，学生对概念的表征水平由各种表征方式所得分数的总和决定，因此，一方面提倡对图形的概念进行多元表征，另一方面应加强对图形表象的建立，这是培养空间想象能力的前提，不提倡死记硬背概念语句，能结合图形直观描述即可。

2.数学规律的复习。

什么是数学中的规律呢？笔者认为规律类似于数学中的“真理”，如原始定义、公理、性质、法则、运算律、定理等，是在数学原始概念的基础上抽象概括、推导出来的通理和通法，是运算和推理的依据。与运算和推理相关的规律主要有：（1）整数、小数、分数、乘法、除法、比的性质；（2）四则运算的法则；（3）四则混合运算的顺序；（4）运算律；（5）图形的性质（特征）。对这些规律的复习，要进行分类和类比整合、系统梳理，如整数、小数、分数的运算律整合成数的运算律，四则混合运算注意按照小括号、中括号、乘除法、加减法的顺序进行计算，等等。

3.数学关系的复习。

什么是数学中的关系呢？生活中我们说同事关系、朋友关系、母子关系等，小学数学中有因数和倍数的关系，速度、路程与时间关系等。这些例子有一些共性，就是关系一般会涉及两个或者两个以上的量 （事物），它们之间通过某种法则对应。如果从广义上来理解关系，还可以用联系、关联、结构等词汇描述关系，如弄清数学知识之间的联系和关联，形成数学知识结构。只有通过各种方法和途径把数学知识结构转化为学生的认知结构，才是教与学的核心。

（1）各种关系式。

各种关系式主要是各种数学模型，如四则运算各部分间的关系式、几何公式、数量关系式、方程、函数解析式等。

（2）除法、分数、比的关联。

除法、分数、比这三个知识点之间的关联性很强。学生在掌握除法的概念和性质的基础上，分数的基本性质、比的基本性质就可以运用关联思想（普遍联系）和类比推理方法，结合数形结合方法（几何直观），通过自主探究推出。到了初中，进一步地可以类比推出分式的基本性质。其中蕴含了丰富的数学思想方法，还包括变中有不变的思想、恒等变形方法等。

（3）运算的关联。

对于四则运算，要在理解运算意义的基础上加强减法与加法、乘法与加法、除法与乘法的关联，体会运算与逆运算的关系。这对于学生理解运算之间的转化和有理数运算法则非常重要，如除以一个数等于乘这个数的倒数，减去一个数等于加上这个数的相反数等。

（4）图形的关联。

对图形进行分类，能够进一步认识平面图形之间、立体图形之间的关系，包括从属关系、演变关系，这样就完成了平面图形之间、立体图形之间各自的关联。总复习时给出图形之间的演变关系，有利于学生认识图形的性质；一个图形增加什么条件就能够成为另一个图形，有利于进行判断、推理、证明。部分平面图形的演变关系如图1。

图1

更进一步，进行平面图形与立体图形之间的关联。几何复习的重点是研究图形的位置和关系，而不是一个个孤立的概念。如，在复习长方体时，一个长方体有多少个顶点、多少条棱、多少个面，这些是基本的知识，但不是最重要的，最重要的是哪些棱互相平行且相等，哪两条棱互相垂直。应加强对二维图形与三维图形之间关系的探究，如长方体、正方体、圆柱与它们的展开图之间的关系，这有利于培养学生的空间想象能力。

二、推理思想和运算能力的培养

1.推理思想。

推理一般分为合情推理和演绎推理，合情推理主要有归纳推理、类比推理。在小学数学中，归纳推理运用广泛，而类比推理运用较少；一般的概念、规律和关系都是通过不完全归纳推理得到的。在中学数学中，类比推理和演绎推理运用广泛，尽管类比推理具有或然性，但是运用类比推理能够大大提高学习效率和培养创新意识，在生活中也得到了广泛应用。因此，在小学数学中应加强类比推理的教学。如立体图形的体积计算公式的推导，可以与平面图形推导面积计算公式类比，平面图形的面积是求这个图形里有多少个单位正方形，那么立体图形的体积就是求一个立体图形里含有多少个单位正方体（棱长为1的正方体）。如长方形的面积公式为什么是长乘宽呢？因为长乘宽的积就是该长方形包含单位正方形的个数。同理，长方体的体积公式为什么是长乘宽乘高呢？因为长乘宽乘高的积就是该长方体包含单位正方体的个数。

另外，为了中小学衔接，演绎推理在小学数学中可适当加强。教学中经常启发引导学生思考一些问题：为什么这样计算？怎样得出的结论？通过讲道理来训练推理能力，让学生体会数学可以通过推理证明得出结论，可以通过用符号表示的式子进行运算，而不是时时刻刻用具体的数计算，逐步养成严谨的、抽象的、逻辑的思维习惯。

此外，要在几何学习中培养学生的推理能力。如图2，平行四边形的底是12cm，高是5cm，求阴影部分的面积。

图2

此题中，阴影部分由两个三角形构成，但是题目没有直接给出每个三角形的底和高，通过观察发现，三角形与平行四边形的高相等，两个三角形的底之和等于平行四边形的底。设三角形的底分别为a、b，那么阴影部分的面积

2.运算能力。

运算能力的形成是比较复杂的，根据笔者的观察和研究，这涉及对数概念、四则运算的意义、性质、法则、运算律等的理解和表征水平，包括对整数、小数十进位值制思想的理解，对分数的意义和分数单位的理解。把握了这些本质，才有利于理解算理和算法。对于通过计算解决实际问题的内容，还需要理解生活中的语言和情境（语文水平，尤其是对概念、词语、句子等的理解水平及生活经验等都会影响学生对数学实际问题的理解），借助几何直观分析数量关系，直至会用分析法和综合法。

另外，运算能力的培养应与推理结合起来，如整数笔算乘法，学生不容易理解两个因数的数字为什么交叉相乘。例如32×13，如果把32×13的横式完全展开计算，这实际上是个推理的过程，更能体现运算律和运算法则，还能够渗透多项式的乘法：32×13=（30+2）×(10+3)=30×(10+3)+2×(10+3)=30×10+30×3+2×10+2×3=300+90+20+6=416。再把横式与竖式加以比较，学生就容易理解两个因数的数字交叉相乘的道理。由特殊推广到一般，学生就能够初步计算（a+b）2=（a+b）×（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2。再结合几何直观（数形结合），边长为（a+b）的正方形的面积分为4部分，让学生进一步体会数与形之间的关系，如图3。

图3

初中生在运算方面犯的错误五花八门，与小学有关的是：乘法口诀错误、乘方错误、解方程错误等，如图4。总复习时应加强针对性训练。

图4

3.加强计算与推理的综合与拓展。

在小学数学教材和教学中，如何把传统几何内容与图形变换融合，是一个值得研究的问题。如利用多边形纸进行折叠，折叠就是轴对称变换，在折纸活动中体会轴对称变换的特点，进行一些运算和推理，把思维与操作结合起来，避免枯燥的思维训练，学生学起来有兴趣。例如利用正方形纸折出一个等边三角形，是一个有挑战性的活动，学生要围绕等边三角形三边等长、三个内角都是60°、等边三角形是轴对称图形、轴对称变换等距的特点进行思考和操作。正方形虽然边长相等，但是四个角都是直角，因此，无法用正方形的两条邻边作为三角形的两条边。一种思路是：可以把正方形的一条边作为三角形的底边，另外两条边在正方形内部找；考虑到等边三角形是轴对称图形，可以把正方形对折，折痕可以作为等边三角形的对称轴；接下来把正方形的左边的一边向右折叠，顶点落在等边三角形的对称轴上，这样就找到了等边三角形的第二条边；同理，可以找到第三条边，如图5。

图5

再如，把长方形纸的线段EF的右面部分沿EF折叠，见图6，如果∠DEF=58°，求∠AEG的度数。

图6

因为折叠是轴对称变换，所以∠DEF=∠GEF=58°， 那么∠AEG=180°-∠DEF-∠GEF=180°-58°×2=64°。