洪峰流量与水位不同遭遇条件下的防洪设计*

2018-08-08陈子燊曹深西

中山大学学报(自然科学版)(中英文) 2018年4期

陈子燊,曹深西

(1.中山大学水资源与环境系，广东广州 510275；2. 广东省海洋发展规划研究中心，广东广州 510220)

全球气候变化增大了各种水文极端事件发生的概率和强度，对江河堤岸和水库大坝等水利工程设施造成了严重威胁。评估变化环境下水文极端事件的风险并提出相应的设计标准是应对洪涝灾害的重要科学与工程风险管理问题。洪水过程是由洪峰流量、洪峰水位、洪水总量和洪水历时等多个特征要素有机组成的一个整体。尽管对多变量洪水频率分析已经有较多的研究[1-6]，但对于给定的洪水多变量重现期水平，存在满足防洪标准的无穷多种洪峰、洪量组合，它们构成了一条等值线(或等值面)，存在较大的不确定性，如何根据一定的准则科学合理地选择设计值已成为一个难题[7]。如何在多变量框架下进行洪水联合设计值估算及风险评估仍然是一个有争议的问题，亟待更深入的探索研究[8-9]。

“或”和“且”重现期作为至今最常用的两种多变量重现期定义方法，在安全与危险事件的判定上都存在着较大局限性[10-11]。本文根据划分安全与危险临界域的新的多变量重现期-Kendall重现期[12-13]，通过实例分析洪峰流量与相应水位的Kendall重现期与“或”重现期、“且”重现期的危险率差异，以出现最大概率原理推算这三种重现期的同频率联合设计值，进一步按不同洪峰流量与水位的遭遇概率推算Kendall重现期的组合设计值，研究结果可为防洪设计标准与风险管理提供更多的参考。

1 理论与方法

1.1 Copula函数与首次重现期

根据Sklar定理，若F(·)是一个二维随机变量(X，Y)的累积分布函数，其边缘分布函数是连续函数u=FX(x),v=FY(y)，则有唯一的Copula函数C使得：

F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=

C(FX(x),FY(y))=C(u,v)

(1)

(2)

(3)

“或”重现期和“且”重现期统称为首次重现期(Primary return periods)。

1.2 Kendall分布函数与Kendall重现期

从首次重现期可知，不同的u、v组合只要其出现累积概率(记为t)相同都可产生相同的重现期。为解决由“或”首次重现期定义的安全域/危险域存在的误判问题，Salvadori等[12]利用Nelsen[14]定义的Kendall分布函数划分出亚临界(安全域)、临界(警戒事件)和超临界(危险域)三种情景。通过求累积概率小于或等于某临界概率(记为t)将多维的极值事件投射为一维分布。基于Copula 函数累积概率t的(u,v)组合值，Kendall分布函数KC为[15]：

KC(t)=t-φ(t)/φ′(t), 0

(4)

式中，φ′(t)为φ(t)的右导数。由Kendall分布函数确定的重现期称Kendall重现期(Kendall return periods)：

TK(x,y)=1/[1-KC(t)]

(5)

1.3 联合分布设计值

(6)

f(u,v)=c(u,v)f(u)f(v)

(7)

式中，c(u,v)为二维copula的概率密度函数。

2 实例研究

2.1 基本数据

高要水文站是国家级水文控制站，集水面积达351 535 km2。其位于珠江流域广东境内的西江下游，上接广西梧州，下连广东珠三角经济区，处于一个重要的防洪战略位置。按年最大值提取高要水文站1951-2010年历年洪峰流量Q(m3/s)和同场洪峰水位H(m)作为研究样本。

2.2 边缘分布与联合分布

采用4种三参数概率分布：皮尔逊三型分布(PE3)、广义极值分布(GEV)、广义正态分布(GNO)、广义逻辑斯特分布(GLO)分别拟合洪峰水位和洪峰流量样本。参数估计使用线性矩(L-矩)方法。经验频率分布使用Gringorten公式。拟合结果采用均方根误差(RMSE)、和概率点据相关系数(PPCC)检验其拟合优度。根据对表1的择优对比，洪峰水位和洪峰流量序列都选用GEV分布。

表1 洪峰流量和水位的概率分布参数与优度检验值Table 1 The parameters of the marginal distribution and the values of goodness of fit test

洪峰流量Q和洪峰水位H的Kendall相关系数为0.709。采用相关性指标法计算Gumbel-Hougaard (G-H) copula、Frank copula、A-M-H copula和Clayton copula的参数θ,θ及相应的AIC和OLS值见表2。以OLS和AIC值最小、拟合度最高的G-H copula构建Q和H的联合分布模式如下：

C(FQ(q),FH(h))=

exp{-[(-lnFQ(q))3.437+

(-lnFH(h))3.437]1/3.437}

(8)

表2 Copula参数估计及拟合优度评价Table 2 Results of parameter estimation and goodness-of-fit tests for four Copulas

2.3 条件概率分布

分析某特定洪峰流量条件下，出现洪峰水位的概率分布。当给定Q≥q时，H≥h的条件概率为：

P(H≥hQ≥q=

(9)

西江高要站出现概率大于等于0.2%、0.5%、1%、2%、5%、10%和20%(对应重现期分别为500、200、100、50、20、10和5a)的洪峰流量时，出现洪峰水位的条件概率P(H≥h|Q≥q)见表3和图1。二者遭遇的条件概率有以下特点：同频率遭遇的概率超过77.7%，主对角线以上二者遭遇的概率则大于94.9%。当洪峰流量大于等于某一设定频率及其设计值时，洪峰水位出现大于等于该频率设计值的条件概率随之增大，以Q出现大于等于概率P1%时的设计洪峰流量(56 775 m3·s-1)为例，洪峰水位出现大于等于P1%、P2%、P5%、P10%、P20%的条件概率分别为0.783、0.972、0.995、0.999、1.000。表3显示，存在着多种防洪标准的Q-H组合，合理地选择其组合设计值有利于洪水风险管理。

图1 洪峰流量和洪峰水位联合分布条件概率Fig.1 Conditional probabilities of flood peak discharges and peak levels

2.4 联合分布重现期

设定重现期标准下Q-H联合分布的三种重现期及其危险率(P)计算结果见图2和表4。

表3 Q-H条件概率Table 3 Conditional probabilities of Q-H

图2 洪峰流量和洪峰水位联合分布的三种重现期Fig.2 The return periods of joint distribution of flood peak discharges and peak levels

表4 洪峰流量和洪峰水位联合分布的重现期及其危险率Table 4 Return periods and hazard rates for joint distribution of flood peak discharges and peak levels

由式(2)、(3)、(5) 和C的非递减性可知，对于设定的某一重现期T，“或”重现期、“且”重现期和Kendall重现期符合理论关系[15]：TOR

2.5 洪峰流量和水位设计值

按设定重现期推算高要站的洪峰流量和水位单变量设计值，以出现概率最大的原理推算Q-H组合的“或”重现期、“且”重现期和Kendall 重现期设计值以及按Q-H同频率计算的设计值[3]列于表5。结果显示，对于设定的重现期，按两变量“或”重现期或同频率推算的洪水设计值存在高估问题，将导致投入费用偏大；按两变量“且”重现期推算的洪水设计值存在低估问题，导致增大防洪工程损毁风险。按Kendall重现期推算的设计洪峰水位和洪峰流量分别小于边缘分布设计值，二者的相对误差为-0.8%～-1.1%和-2.1%～-4.1%。这一结果表明，按单变量洪水要素频率分析方法已可达到设计洪水安全标准，但按联合分布的Kendall重现期推算的洪水设计值可为防洪工程安全与设计标准提供更坚实的理论依据。

表5 不同重现期下洪峰流量与洪峰水位设计值1)Table 5 Design quantiles of flood peak discharges and peak levels at different return periods

1)Q的单位为m3·s-1，H的单位为m。

对于给定的重现期水平可能存在多种满足防洪标准的洪峰流量和水位组合，按出现概率最大的原理进一步推算二者不同重现期组合下的Kendall重现期设计值。从表6可见二者组合设计值有以下特点：① 对应于某给定重现期的洪峰流量，洪峰水位随重现期的减小而降低。当给定重现期的洪峰流量的重现期大于洪峰水位重现期，洪峰流量趋于定值。根据遭遇的条件概率，此二者组合设计值出现可能性非常高；② 对给定重现期的洪峰水位与小于此重现期的洪峰流量组合时,洪峰水位以定值出现，如200 a一遇洪峰水位和小于200 a重现期的洪峰流量组合时，其设计值为13.88 m的定值。根据条件概率组合可认为主对角线以下出现的二者组合设计值的可能性小；③ 同频率洪峰流量和洪峰水位组合设计值同表5中的Kendall重现期设计值。