2018年1月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2401在任意△ABC中，求证

(天津水运高级技工学校黄兆麟300456)

证明首先证明链中第一个不等式

又设链中第一个不等式左右之差为M1,则

显然以上最后一式的三个单项均为非负项,故有M1≥0.即链中第一个不等式成立.

再证明链中第二个不等式

由链中第二个不等式的全对称性,不妨设A≥B≥C,则有sinA≥sinB≥sinC,

又设链中第二个不等式左右之差为M2,那么

故链中第二个不等式成立.

以上证明过程用到了熟知的不等式

最后证明链中第三个不等式

由链中第三个不等式的全对称性,

不妨设A≥B≥C,

且还有 1-2cosA≥0及1-2cosC≤0，

又设链中第三个不等式左右之差为M3,那么

故链中第三个不等式成立.

以上证明过程用到了熟知的不等式

至此命题不等式链全部获证.

2402已知在△ABC中，∠C=150°，O是外心，I是内心，边AC延长线上的点D，边BC延长线上的点E，使得AD=BE=AB，如图所示．

求证：OI⊥DE，且OI=DE．

(北京市陈经纶中学张留杰100020)

证明连结OB、BI，连结AI并延长，

与外接圆⊙O相交于点M，与BD相交于点N，

连结OM、BM，设OM与BC相交于点P．

因为I为△ABC的内心，

所以∠MOB=∠BAC．

设外接圆⊙O的半径为R，

在△ABC中，由正弦定理，得

AB=2Rsin150°=R，

从而AD=BE=AB=OM=OB=R，

所以△DAB≅△MOB，所以BM=BD．

由三角形外心与内心定理，

可得IM=BM，所以IM=BD．

又AI平分∠ABC，AD=AB，

故AN⊥BD，所以∠ANB=90°，

又∠MPB=90°，所以∠IMO=∠PBD=∠DBE，

所以△IMO≅△DBE，所以IO=DE．

由∠OMI和∠EBD的两边分别垂直相等，又都是相等的锐角，通过旋转90°和平行平移可使两个三角形重合，故OI⊥DE．

2403在△ABC中，a、b、c，ta、tb、tc，R、r分别表示三边长，内角平分线长，外接圆半径、内切圆半径. 则有

(浙江湖州市双林中学李建潮313012)

(即x=s-a，y=s-b，z=s-c)，

则y+z=a，z+x=b，x+y=c，x+y+z=s.

于是，由三角形内角平分线长公式

得

同理

以上三式相加，得

与abc=4Rrs代入上式，有

试求f(O)+f(H)的所有可能取值.

(河南省辉县市一中 贺基军 453600)

解如图，因△ABC为锐角三角形，故内心I，外心O和垂心H均在△ABC的内部. 下面考察O，I，H分别对线段BC的张角，易知

∠BOC=2∠BAC，

∠BHC=180°-∠BAC.

注意到如下等价关系

∠BOC=∠BIC

进而考察O，H的分布情况，为此对区域进行如下合并：由区域4，5，6这三个区域合并而成的大区域记为Γ1，由区域6，3，2这三个区域合并而成的大区域记为Γ2，由区域2，1，4这三个区域合并而成的大区域记为Γ3.

假设O，H均不在任一圆弧上，

注意到如下等价关系

∠BOC<∠BIC

故知当O在区域Γ1内时，H在区域Γ1外，同时，易知当O在区域Γ1外时，H在区域Γ1内. 总之，O，H两点不同在Γ1内，也不同在Γ1外. 同理，O，H与Γ2及O，H与Γ3也有类似如上的位置关系.

根据上述考察结果及f(P)的定义，可得

(i)当O，H同在某一圆弧上时，

f(O)+f(H)=0.

(ii)当O，H均不在任一圆弧上时，

若f(O)=1，则f(H)≠2,1,4(因O在Γ3内)，f(H)≠1,2,3(因O在Γ1外)，f(H)≠1,4,5(因O在Γ2外)，唯有f(H)=6，f(O)+f(H)=7；

若f(O)=2，则f(H)≠1,2,3，f(H)≠2,1,4，f(H)≠2,3,6，唯有f(H)=5，f(O)+f(H)=7；

若f(O)=j(j=3,4,5,6)，同理，唯有f(H)=7-j，f(O)+f(H)=7.

综合(i)(ii)得f(O)+f(H)=0或7.

(安徽省太和县第二小学任迪慧 236635)

证明由常见公式(其中Δ表示三角形面积)

同理rbrc=p(p-a),

rcra=p(p-b),

从而rarb+rbrc+rcra=p2,

2018年2月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2406在直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的内切圆O分别与边BC,CA,AB相切于D,E,F，AD与内切圆O相交于点P，连接BP,CP.若∠BPC=90°，求证：AE+AP=PD.

(山东省滕州市第一中学 颜子皓 277500)

(浙江省温州市洞头区第二中学陈展325701)

2408如图，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，AC⊥BD，垂足为E．F在DA的延长线上，G在BA的延长线上，且BF∥DG，GF的延长线与DB的延长线相交于I．H在线段IF上，且H、B、E、F四点共圆，IC的延长线与GD的延长线相交于K．求证：IK⊥GK．

(河南省南阳市宛城区新店二中向中军473113)

2409设△ABC中的三边长分别为a,b,c，外接圆和内切圆半径分别为R,r，求证：

(1)

(河南质量工程职业学院李永利467000)

2410如图，O为△ABC内一点，角A，B，C所对的边为a,b,c，延长AO,BO,CO交△ABC的三边和外接圆分别为D,E,F,A1,B1,C1，求证：

(安徽省安庆市岳西县汤池中学苏岳祥杨续亮246620)