李小斌

本文系2016年度河南省基础教育教学研究项目《高中数学生本课堂研究》（课题编号JCJYB16030146）的研究成果。

近几年来，新课程改革已经从单纯的以數学知识技能目标为主转变成知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三维一体的目标导向，以此全面提升学生的数学素养。

我们平时所说的数学素养包括数学知识、数学技能、数学思考以及创新能力、应用能力等，就是通过教学赋予学生的一种学数学、用数学的意识和品质。

基于培养学生核心素养下的生本课堂教学是通过有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，通过对数学问题进行多角度、多方面的变式探索研究，从而优化学生思维品质，培养和提升学生的数学核心素养，下面以一节《三角函数求最值》为例，抛砖引玉。

一、学习目标

基于学生已学过三角函数的基本知识和在必修一学习过一些函数求最值的情况下，将本节课的学习目标和重难点设计如下：

【学习目标】

1.通过例题探究出求三角函数最值的几种常见类型及其求法。

2.经历三角函数求最值的过程，掌握发现数学规律的方法。

3.体会数学思想在解题过程中的应用。

【学习重点】三角函数求最值的几种常见类型及其求法。

【学习难点】归纳总结三角函数求最值的几种常见类型及其求法。

二、课堂实录

教学环节1：复习回顾

师：根据我们学过的知识，请回答下列问题：

（1）说出y=sin x的单调性和最值；若x∈-■，■，则最值为多少？

（2）说出y=cosx的单调性和最值；若x∈-■，■，则最值为多少？

（3）说出sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx三者之间的关系。

（4）求最值的方法有哪些？

（学生回答上述问题，教师引导学生规范表述，并将与本课相关的重点知识板书于黑板一角。对表述正确的学生点赞打分，并为其所在小组加分。）

【设计意图】为探究三角函数求最值做准备。

教学环节2：自主探究

（教师投影）例1.求函数y=■sin（2+■）+1的最值。

探究1：求函数y=■sin（2x+■）+1，x∈-■，■的最值。

探究2：求函数f（x）=cos4x+2sinxcosx-sin4x+1在x∈-■，■上的最值。

学生先分小组讨论学习，然后第一、第二、第三小组分别派代表演板，接着第四、第五、第六小组分别派代表对前面学生的演板进行评价打分，最后教师根据学生表现进行打分点评，给各组加分或减分，规范做题格式。

【设计意图】对前面所学知识的反馈提升，规范学生做题格式，为后面题型解法探究作铺垫。

师：能得到一般性的结论吗？

学生分小组讨论，由特殊到一般，归纳总结出上面三道题的共同特征。最后归纳总结出y=Asin（ωx+φ）+B型函数求最值的解决方法：根据题目先利用三角函数变换，将原函数化为y=Asin（ωx+φ）+B型，再利用三角函数的性质求最值。

【设计意图】引导学生合情推理，由特殊到一般，培养学生的数学素养。

（教师投影）例2.求函数f（x）=sin2x-4sinx-3，x∈R的最值。

先让学生独立解题，并在练习本上写出解题过程，教师巡视找出有特色的（规范的和不规范的以及用不同方法的），再通过投影仪将选出的学生的练习本投影，学生讨论评判。最后为展示的学生评价打分，并给其所在小组加分或减分。

师：能得到一般性的结论吗？

学生分组讨论，派代表表达本组观点。最后全班归纳总结出y=at2+bt+c型函数求最值的解决方法：先通过换元，将原函数转化为y=at2+bt+c型（注意所换元的取值范围），最后利用二次函数的性质在闭区间上求最值，从而求出原函数的最值。

【设计意图】引导学生通过换元，将问题转化，化不熟悉为熟悉，体会数学思想在解题中的运用。

（教师投影）探究：求函数f（x）=sinx+cosx-sinxcosx，x∈R的最小值。

先让学生分组讨论后，在练习本上写出解题过程。但教师在巡视的过程中，发现很多学生束手无策。于是让部分有点思路的同学展示思路，在此过程中学生讨论发现无法解决问题。接着教师引导学生看黑板上最初复习回顾时的板书，引导学生思考可以通过哪些量之间的关系来做题。最终学生发现sinx+cosx与sinxcosx之间有等式关系，可通过换元，将原函数转化为一元二次函数，从而找到解决方法。

师：既然找到了方法，那么大家在练习本上写出解题过程吧。

学生快速地在练习本上写出解题过程。

师：这和刚才的例2解决方法一样吗？

生：一样。

最后学生归纳总结出y=at2+bt+c这类题型的解决方法：先通过换元，将原函数转化为y=at2+bt+c型（注意所换元t的取值范围），最后利用二次函数的性质在闭区间上求最值，从而求出原函数的最值。

【设计意图】例2与探究表面上看不是一类题，但实际是同一类型，引导学生透过现象看本质。

师：y=Asin（ωx+φ）+B型函数与y=at2+bt+c型函数求最值的方法一样吗？

学生思考后，生甲：不一样，因为它们类型不同。生乙：一样，但我说不清楚原因。（学生笑）

最后教师引导学生找到两种题型的相同之处：无论是化同角化同名，还是换元，都是多元问题单元化，化不熟悉为熟悉。

【设计意图】引导学生透过现象看本质，发现不同题型之间的联系，进一步体会数学思想在数学学习中的作用，进一步培养学生的数学素养。

教学环节3：课堂小结

本节课我们主要学习了什么？你掌握了哪些知识？你运用了哪些数学思想来解决问题？

各组派代表对本节课进行回顾小结，教师对各组回答情况进行打分，并引导学生根据黑板上留下的板书完善答案。

【设计意图】引导学生对本节课的几种题型的解法进行回顾，进行反思，从中发现哪种题型还没掌握，课下有目的地解决未掌握的问题，并体会数学思想在解题中的运用。

最后，教师针对本节课各组成员的表现以及得分情况进行总结。对表现好的个人及小组进行表扬及嘉奖，对得分不是很理想的个别组给予激励。

教学环节4：布置作业

（1）已知函数f（x）=log2（1+sinx）+log2（1+cosx），求当x∈[-■，0]时，f（x）的最大值。

（2）已知函数f（x）=2-4sinx-cos2x，x∈R，求f（x）的最大值。

（3）求函数f（x）=2-4asinx-cos2x，x∈R的最小值。

【设计意图】巩固所学知识，引导学生反思和评价，更进一步培养学生的数学素养。

本节课案例主要是通过学生分组讨论，进行合作学习，通过例题探究出求三角函数最值的几种常见类型及方法。在经历三角函数求最值的过程中，掌握发现数学规律的方法，并体会数学思想在解题过程中的应用。

在整个教学过程中以学生为本，教师只是一个引导者。在教学的过程中对学生做答以及各个小组的表现进行打分，激发各个小组的竞争意识，从而提高各个小组成员学习的积极性。尤其是在教学中，引导学生将其在解题过程中出现的错误思路与正确思路或常规解法与简便解法之间进行对比，找出错误原因或简便解法的好处，使学生对所学知识有了进一步的提升，进一步培养了学生的数学素养。

按照“课程标准”要求，生本课堂的教学并不能只关注学生的学习结果，更应当重视学生采用的学习方法以及呈现的学习过程，提高他们学习数学过程中的各项能力，培养他们的数学素养，让数学学习更为灵活有效。我认为如何有效激發学生的学习兴趣，让学生充分发挥其主观能动性和积极性，进而提高他们的数学能力，是培养学生数学核心素养的关键。而如何落实在实际教学过程中培养学生的数学核心素养，还需要我们去在生本课堂中继续探讨研究。

（作者单位：河南省郑州市第十一中学）