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浅谈近年高考中换元法在函数中的应用

2018-07-08 09:39:58 《试题与研究·教学论坛》 2018年3期

王豫平

一、复合函数问题

在解决复合函数f[h(x)]=g(x)求f(x)时,如果将h(x)的表达式直接代入f(x),就会造成自变量过于庞大和复杂,通常利用换元法令t=g(x)从中解出x的值,代入g(x)进行换元,这样就把原式化为初等函数模型,再利用函数模型性质从而解决问题。

例1 (2015山东理数)设函数f(x)=3x-1,x<12x,x≥1,则满足f(f(a))=2f (a)的a的取值范围()

A.■,1 B.[0,1]

C.■,+∞ D.[1,+∞)

分析:函数f(x)是分段函数,要解决该问题则需要分别讨论不同的定义区间,如果直接解决该问题,那么自变量就会变得很复杂,从而增加了解题的难度。但是这时用换元法令t=f(x),从而把问题转换为一般的分段函数模型就好解决多了。

解:令t=f(a),则原式可化为f(t)=2t

当t<1时,3t-1=2t

设g(t)=3t-1-2t,则g′(t)=3-2tln2

当t<1时,g′(t)>0

所以g(t)在(-∞,1)上是增函数,即有

g(t)

则方程3t-1=2t无解

当t≥1时,2t=2t

由f(t)≥1,即3a-1≥1

解得a≥■且a<1

或a≥1,2a≥1

解得a≥0,即a≥1

综上可得a≥■,所以C答案正确。

二、三角函数问题

解决三角函数问题无疑需要各个知识点的正确连接,通常要把相关知识点合理运用。把一个角用其他两角代换,或把一个三角函数式用与其等价的三角函数式代换等,从而将其化简减少变元的个数。如果分开讨论变元很麻烦时,不妨利用换元法将其化为初等函数模型解决问题。

例2 (2016江苏数学)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是______。

分析:在三角形ABC中∠A+∠B+∠C=π,从而tanA=-tan(B+C),所以原式可化为关于tanB,tanC两个变量的式子,如果分开讨论tanB,tanC的值域再确定tanAtanBtanC的最值则很麻烦,但是由于tanB,tanC都是大于0的,不妨利用换元法令t=tanB·tanC,把问题转换为关于t的一元二次函数模型求最值问题,就简单多了。

解:由sinA=sin(π-A)=sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC

sinA=2sinBsinC

可得sinBcosC=cosBsinC=2sinBsinC①

因为三角形ABC为锐角三角形,所以有

cosB>0,cosC>0

在①式两侧同时除以cosBcosC,可得

tanB+tanC=2tanBtanC,

又因为tanA=-tan(π-A)=-tan(B+C)=

-■②

则tanAtanBtanC=-■×tanBtanC

由tanB+tanC=2tanBtanC

可得tanAtanBtanC=-■

令t=tanB·tanC

由A,B,C为锐角可得tanA>1,tanB>0,tanC>0

由②式得1-tanBtanC>0

解得t>1,

tanAtanBtanC=-■=-■,■-■=■-■2-■,由t>1,得-■≤■-■<0

因此tanAtanBtanC的最小值为8,当且仅当t=2时取等号,此时tanB+tanC=4,tanBtanC=2

解得tanB=2+■,tanC=2-■,tanA=4(或tanB,tanC互换)

此时A,B,C均为锐角符合题意。

三、综合对数函数问题

在解决一些综合性的对数函数问题时,如果直接利用对数性质也不容易解决,很难看出这道题目的实质,不妨试将其换元,也许就容易看出原问题的本质,是考查学生哪个方面知识的掌握的能力,再联系学习过的方程模型或初等函数模型的性质,通过解决方程思想、函数思想解决问题,最后还原问题得出答案。

例3 (2015上海理数)方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2的解________。

分析:本题主要是求对数等式的解,虽然直接计算也能做出来,但是计算式子比较复杂,都含有不同的指数式,并且每个独立的元素都不同,加大了运算能力的考查,也很难看出问题的实质是利用方程思想解决问题。仔细观察式子中都有3x-1,不妨考虑将其化为标准一元二次方程模型解决,这样不仅思路清晰而且计算简捷。

解:令t=x-1,则原对数等式可化为

log2(9t-5)=log2(3t-2)+2,

又因为2=log24

所以log2(9t-5)=log24(3t-2)

从而有9t-5=4(3t-2)

令3t=y,则有y2-4y+3=0

解得y1=1,y2=3,

当y=1时,t=0,代入上式得

1-5≠-8等式不成立

当y=3时,t=1,代入上式得

9-5=4(3-2),等式成立。

所以t=1满足式子,即x=2原等式成立。

四、多元函数问题

在函数问题中如果出现两个以上的未知变量时,就得采取换元方法去解决。如果直接讨论解决问题时,不仅会增加计算量,也会加大问题的难度系数。一般把问题化为熟悉的问题解决,再通过知识之间的联系转为所要解决问题的答案。例如利用换元法把已知条件和问题朝着熟悉的数学模型转换从而解决原问题。

例4 (2011浙江理科数学)设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是__________。

分析:本题根据已知条件很难有思路解决,不过如果设t=2x+y,得到y=t-2x,求2x+y的最大值也就是t的最大值问题。再根据方程有解的必要条件,Δ?叟0,从而解决通过换元得到的有关t的一元二次方程,间接解决问题。

解法1:因为4x2+y2+xy=1,所以(2x+y)2-3xy=1

设t=2x+y得到y=t-2x,从而得到t2-3(t-2x)x=1

即6x2-3tx+t2-1=0

因為x为实数,所以Δ=9t2-24(t2-1)=-15t2+24≥0

解得-■≤t≤■

所以2x+y的最大值是■。

解法2:由于已知条件可化为

■+y2+■x2=1

也就是cos2θ+sin2θ=1

设■+y=cosθ,■x=sinθ,

从而得到x=■sinθ,y=cosθ-■,

所以2x+y=■sinθ+cosθ-■=■sinθ+cosθ=■sin(θ+φ)

由于tanφ=■

所以sin(θ+φ)=1时2x+y的最大值是■。

换元思想在函数问题中有很强的理解表达能力。数学本来就是高度符号化的一门学科,每一种符号之间都有密切的联系,这就为解题方法提供了很大的发展空间,也提供了换元的一定条件。生活中的问题,常常也需要转换问题来解决原问题,更是说明好的方法不是单向的,也可以在每个方面都有其作用体现。老师对学生的启蒙作用更要从各个方面进行,好的方法能帮助学生提高学习效率,更能加深知识点对其的渗透力、感召力。

(作者单位:贵州省遵义航天高级中学)