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浅谈高中数学中的导数

2018-07-08 09:39:58 《试题与研究·教学论坛》 2018年3期

焦淑宁

摘 要:随着新课改的深入,高考对导数的考查逐渐加强,而三次函数问题是中学教材研究导数的重要载体,所以三次函数成为命题中的新亮点。由于三次函数的导数为二次函数,因此,以三次函数为载体,背景新颖独特,利用导数解决的问题在考试中屡见不鲜。下面通过对考题进行分析,以提高学生对三次函数的导数问题的认识。

关键词:数学;三次函数;导数

一、三次函数的单调性问题

例1.已知函数f(x)=4x3+3tx2-6tx+t-1,其中t∈R。

(1)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)当t≠0时,求f(x)的单调区间。

解析:第一问考查导数的几何意义,解决关键是求出切线的斜率;第二问通过三次函数求导后得到二次函数,由于二次函数对应的方程根含字母,需要对两个根进行讨论。

(1)当t=1时,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f′(x)=12x2+6x-6,f′(0)=-6。所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-6x。

(2)f′(x)=12x2+6tx-6t2,令f′(x)=0,解得x=-t或x=■,因为t≠0,以下分两种情况讨论:

①若t<0,f′(x)<0的解集是■-t;

所以,f(x)的单调递增区间是-∞,■,(-t,+∞);

f(x)的单调递减区间是■,-t。

②若t>0,f′(x)>0的解集为(-∞,-t)∪■,+∞;

所以,f(x)的單调递增区间是(-∞,-t),■,+∞;

f(x)的单调递减区间是-t,■。

点评:本题是直接考查导数的应用,需要对根进行讨论,增加了问题的难度,此外利用导数判断函数单调性及函数区间应注意:在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间。

二、三次函数的最值问题

例2.设f(x)=-■x3+■x2+2ax

(1)若f(x)在■,+∞上存在单调递增区间,求a的取值范围;

(2)当0

解析:若对于三次函数f(x)在区间[a,b]存在单调递增区间,则只需f(x)的导函数在区间[a,b]上的最大值大于0即可。第二问显然考查导数的逆向应用,根据最小值利用待定系数法求得参数a,再求最大值。

(1)由f′(x)=-x2+x+2a=-x-■2+■+2a

当x∈■,+∞时,f′(x)的最大值为f′■=■+2a;

令■+2a>0,得a>-■,所以,当a>-■时,f(x)在■,+∞上存在单调递增区间。

(2)令f′(x)=0,得两根x1=■,x2=■。

所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增。

当0

又f(4)-f(1)=-■+6a<0,即f(4)

所以f(x)在[1,4]上的最小值f(4)=8a-■=-■

得a=1,x2=2,从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)=■。

点评:通过已知函数的最值确定参数的值或取值范围,是导数的逆向应用,也是导数应用的一大亮点,充分展现了导数应用的活力。最值一般在极值点或端点处取,利用这一特征可以快速解决最值问题。

三、三次函数的极值问题

例3 已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x-12a-4{a∈R}

(Ⅰ)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点

(2,2);

(Ⅱ)若f(x)在x=x0处取得极小值,x0∈(1,3),求a的取值范围。

解析:利用可导函数求函数极值的基本方法:设函数y=f(x)在点x0处连续不断且f′(x)=0,若在点x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则f(x0)为函数的极大值;若在点x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则f(x0)为函数的极小值。

【解析】(Ⅰ)f′(x)=3x2+6ax+(3-6a),f′(0)=3-6a,又f(0)=12a-4

曲线y=f(x)在x=0的切线方程是:y-(12a-4)=(3-6a)x,在上式中令x=2,得y=2,所以曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2);

(Ⅱ)由f′(x)=0得x2+2ax+1-2a=0。

(i)当-■-1≤a≤■-1时,f(x)没有极小值;

(ii)当a>■-1或a<-■-1时,由f′(x)=0得

x1=-a-■,x2=-a+■,

故x0=x2。由题设知1<-a+■<3。

当a>■-1时,不等式1<-a+■<3无解。

当a<-■-1时,解不等式1<-a+■<3得-■

综合(i)(ii)得a的取值范围是-■,-■-1。

点评:解决本题的关键是求出导函数利用判别式确定参数a在哪个范围存在极值,具体确定极小值点,再转化为关于a的不等式求解。

(作者单位:河南省洛阳市第一高级中学)