李 艳 艳

(文山学院 数学学院, 云南 文山 663099)

2009年,L.Cvetkovic等给出了H矩阵的新子类S-Nekrasov矩阵[1],2012年L.Cvetkovic等研究了S-Nekrasov矩阵的逆矩阵无穷范数上界的估计问题[2].本文在文献[1-13]的基础上,借助于李耀堂,李朝迁,高磊,裴荟等研究Nekrasov矩阵的逆矩阵无穷范数的方法,得到了S-Nekrasov矩阵A的‖A-1‖∞的上界.

1 预备知识

令

将矩阵A分裂为

引理1[3]若A=(aij)∈Rn×n是S-SDD矩阵,则

引理2[4]设A=(aij)∈Rn×n,n≥2,aii≠0,则

hi(A)=|aii|[(|D|-|L|)-1|U|e]i,

其中e=(1,1,…,1).

引理3[5]矩阵A=(aij)∈Rn×n(n≥2)是Nekrasov矩阵的充要条件是

(|D|-|L|)-1|U|e

注:以上充要条件说明了E-(|D|-|L|)-1|U|是SDD矩阵.

引理4[2]设矩阵A=(aij)∈Rn×n,n≥2,aii≠0,则

引理5[6]设A=(aij)∈Rn×n是非奇异H矩阵,则

|A-1|≤〈A〉-1.

2 S-Nekrasov矩阵的逆矩阵无穷范数的上界

在S-Nekrasov矩阵的基础上,引入参数构造S-SDD矩阵,并在对S-Nekrasov矩阵和S-SDD矩阵元素特点分析的基础上,应用引理1得到了S-Nekrasov矩阵A的‖A-1‖∞的新界.

定理1 设矩阵A=(aij)∈Rn×n是S-Nekrasov矩阵,且A-1存在,则当

有

由于E-(|D|W-|L|W)-1|U|W=W-1(E-(|D|-|L|)-1|U|)W是SDD矩阵,则E-(|D|-|L|)-1|U|是S-SDD矩阵.

由C(μ)的定义知:

对于第2行,

[C(μ)]22=c22μ,r2(C(μ))=r2(C),

对于其他行,

则C(μ)是S-SDD矩阵.

下面在C(μ)元素特点的基础上,分情况讨论‖C(μ)-1‖∞的界,同时假设2∈S,

又因为

由E-(|D|W-|L|W)-1|U|W=W-1(E-(|D|-|L|)-1|U|)W是SDD矩阵知,E-(|D|-|L|)-1|U|是S-SDD矩阵,那么B=|D|(E-(|D|-|L|)-1|U|)也是S-SDD矩阵.

由B(μ)的定义知,

即[B(μ)]22=μb22,r2(B(μ))=r2(B),

对i=2,…,n,

[B(μ)]ii=bii,ri(B(μ))=ri(B),

因为B(μ)=(E-(|D|-|L|)-1|U|)D(μ),所以〈A〉=(E-|L||D|-1)B(μ)D-1(μ)=(E-|L||D|-1)Δ·Δ-1B(μ)D-1(μ),Δ=diag(δ1,δ2,…,δn),δi>0,i=1,2,…,n.

下面针对B(μ)主对角线元素的不同,分类讨论,并假设2∈S.

则此时有

结合以上情况,

3 数值算例

通过该例发现,一定情况下,本文的结果改进了现有的估计式.

参考文献:

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