周 勇 孟玉洁 姚关心 许新胜

(安徽师范大学物理与电子信息学院 安徽 芜湖 241002)

1 引言

“静电场的描绘”是大学物理实验教学中的重要实验[1].由于直接测量静电场比较困难，一般用稳恒电流场来模拟静电场.同轴圆柱形电容器电极间的等势线呈同心圆状分布，等势线圆的半径与电势之间的关系满足理论解析公式

(1)

2 传统数据处理方法的定性分析

基于一组等势点确定等势线圆半径的传统做法是：首先取3个等势点,根据几何法作图确定圆心的位置；然后测量圆心到各等势点的距离并取所有距离的平均值.

传统的“三点定圆心，求平均半径”方法存在一些问题.例如：

问题1：几何法作图可能存在误差，导致所确定的圆心位置不精确.即便对于同一份实验记录，每个人作图得到的圆心位置间也会存在一定的差别.此外，在测量圆心到各等势点距离时也存在误差.

问题2：受实验条件限制，各等势线并非精确的圆形，而且记录等势点时也可能存在误差，因此不同“三等势点”组合所确定的圆心一般情况下并不重合，圆心位置的误差也参差不齐.关于“三等势点”组合选择对圆心位置误差的影响，目前尚未见有定量的研究.为减小误差，一般建议所选组合中的3个等势点应尽量均匀分布(即成近似的正三角形)[2]；该建议主要是经验性的，尚无定量的测试结果予以验证和支持.

为尽量减小上述问题对最终实验结果精度的影响，本文中首先对记录的等势点进行数量化，然后在此基础上对传统数据处理方法的精度进行定量分析，最后针对传统方法中所存在的问题提出一种基于“圆最小二乘法拟合”的数据处理方案并对结果进行定量分析.

3 传统数据处理方法的定量分析

3.1 实验条件及实验记录的数量化

实验采用JD-LE-I型静电场描绘仪.选用同轴圆柱形电容器(圆柱电极直径Da≈12 mm；圆环电极内直径Db≈90 mm，厚度d≈7 mm)，电极间电势差U0=10 V，导电介质为自来水.等势线电势选定为0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 4.0 V，对应每条等势线记录8个呈米字型分布的等势点.电容器电极布局如图1中阴影区域所示.

为方便后续的数据处理和定量分析，我们首先对实验记录的等势点进行数量化，得到所有等势点的坐标.具体方法：将等势点记录纸按100%比例扫描成图片；在图片上建立坐标系，借助计算机软件(如Origin等)确定所有等势点的坐标.图1显示了实验所记录等势点的位置和数量化时所采用的坐标系.

图1 电极布局及等势点在等势线上的分布

3.2 传统数据处理方法的定量分析

首先，基于传统数据处理方法，即任取“三等势点”组合，来确定圆心的位置.已知等势点坐标{(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)}，圆心的坐标(xc,yc)可以通过求解方程组

(2)

精确得到.这里借助SciPy[3]中optimize模块的fsolve函数求该非线性方程组的数值解.基于实验中记录的对应某条等势线的8个等势点，通过编写计算机程序，可以方便快捷地计算所有56个“半径”的数值.相比于传统方法，采用解析方法可有效地减小圆心的几何作图误差和圆心到各等势点距离(“半径”)的测量误差.这里我们用“半径”的标准差来度量各圆心位置的精度(表1)，标准差越小说明圆心位置越精确(对严格的圆，标准差为零).

表1 基于传统方法计算所得等势线半径R的误差分布

对于电势为0.5 V的情况，不同“三等势点”组合计算所得“半径”的标准差之间差别很大：最大标准差(2.26 mm)明显大于直尺的测量误差限(0.5 mm)，此时圆心位置误差较大；最小标准差(0.31 mm)小于直尺测量误差限，此时圆心位置较精确.对于其他电势值，结论与0.5 V情况类似.这表明，基于传统方法确定等势线的圆心位置时，需慎重选择“三等势点”组合.只有“半径”标准差小于直尺测量误差限的“三等势点”组合(“优质组合”)所给出的圆心位置才是可靠的.

经验认为，当3个等势点的连线接近正三角形时，其所确定的圆心位置误差较小，即应为“优质组合”.计算了所有“三等势点”组合所确定三角形内角的标准差，并用这些标准差来度量各“等势点”三角形偏离正三角形的程度(标准差越小越接近正三角形，正三角形标准差为零).研究结果表明，当“等势点”三角形最接近于正三角形的时候，其对应的“半径”标准差也是最小的；除去个别特殊情况，按照“正三角形”规则选出的“三等势点”组合均接近“优质组合”，即传统经验规则基本有效.需要指出的是，实验中也发现：对于某些与正三角形偏离较大的情况，其对应的“三等势点”组合也有可能是“优质组合”.

为尽可能地保证圆心位置的精度，可以对3个不同的“三等势点”“优质组合”确定的圆心取平均.统计了不同电势值情况下“优质组合”的数目，并在此基础上计算了随机抽取的3个不同组合全部为“优质组合”的几率.结果表明，该几率最高仅为50%左右，最低可至11%.即在完全随机地选择3个“三等势点”组合来确定平均圆心位置情况下，得到可靠结果的可能性最高不超过50%，大概率情况下结果不甚可靠.这也说明，在选择“三等势点”组合时需要格外慎重.

4 改进的数据处理方法及定量分析

基于上述原因，提出一种利用“圆最小二乘法拟合”[4]的方案来确定圆心的位置.具体地，借助SciPy中optimize模块的leastsq函数对试探圆心的位置进行优化，最优化结果对应所有8个“半径”标准差的最小值.由于所有等势点均参与“圆最小二乘法拟合”，这就避免了传统方法中因“三等势点”组合选择方法的不同所引起的主观误差.拟合所得各等势线如图1中虚线所示.

与前一部分相同，我们用“半径”标准差来度量圆心位置的精度，相关统计结果如表2所示.对于这里考察的所有7组不同电势值情况，“半径”标准差均小于直尺测量误差限(0.5 mm)，其中最大标准差0.31 mm，最小标准差0.16 mm，平均标准差0.24 mm.比较可知，改进型方法的“半径”标准差与传统方法的最小标准差非常相近.对于大多数情况，二者之间的差别不超过0.01 mm；最大差别(4.0 V电势情况)也仅为0.03 mm，远小于直尺的测量误差限，即采用改进型方法亦可达到传统方法的最佳可能精度.由于计算机程序处理数据的高效性，我们可以通过记录更多的等势点来提高圆心位置的拟合精度，而由此导致的计算机计算时间可以忽略不计；传统的几何作图方法不具有这方面的优势.

表2 基于改进型方法计算得到的等势线圆心坐标和半径误差分布

5 结论

对“静电场的描绘”这一重要大学物理实验中的数据处理方法进行了定性和定量的分析研究.分析的基础是实验中所记录等势点位置的数量化，这一步是整个数据处理过程中的主要误差来源.对传统数据处理方法的定量分析表明：“三等势点”组合的选择对所得圆心位置的精度有重大影响；基于定量的误差分析，在具体选择时可考虑遵循经验性的“正三角形”选点规则；在随机选择“三等势点”组合的情况下，得到可靠的平均圆心位置的概率很低.本文提出的基于“圆最小二乘法”拟合的数据处理方案，可在回避“三等势点”组合选择主观随意性的同时，充分利用所有等势点的信息，并达到与传统数值处理方法类似的精度，且该精度有望通过增加等势点的数目来获得进一步的提高.由于改进后的数据处理方法相比传统方法所具有的优势，我们建议师生在实验教学过程中参考使用.

参 考 文 献

1 方正华. 大学物理实验教程(一级). 合肥：中国科学技术大学出版社，2010. 102～106

2 付芳芳, 李庆明, 侯双印. 模拟法描绘静电场实验中数据处理方法比较. 物理通报, 2016, 35(7) ：101～102

3 Jones E, Oliphant E, Peterson P, et al. SciPy: Open Source Scientific Tools for Python. 2001-. http://www.scipy.org/

4 张韵华. 数值计算方法与算法. 北京：科学出版社，2006. 59～73