严峰军　陈思源

[摘           要]  归纳分析了具有对称性二重积分和三重积分的方法，通过例题详细介绍了解题方法。

[关    键   词]  对称性;二重积分;三重积分

[中图分类号]  O712.2            [文献标志码]  A                     [文章编号]  2096-0603（2018）35-0212-01

与定积分相比，二重积分和三重积分的计算更加复杂，仅就二重积分来讲，常规解法是根据积分区域选择积分次序，定好积分限，将二重积分转化为二次积分。然而，当积分区域或被积函数具有某种对称性时，若利用对称性进行合理的搭配，则可化繁为简，变难为易，起到事半功倍的作用。

一、二重积分的对称性定理

（一）若积分域D关于x轴对称，而D1是D中对应于y≥0的部分，则

）若积分域D关于y轴对称，而D1是D中对应于x≥0的部分，则

（x，y）dσ，f（-x，y）=f（x，y），0，f（-x，y）=-f（x，y），

（三）若积分域D关于y轴和x轴均对称，而D1是D中对应于x≥0，y≥0的部分，则

x，y）dσ，f（-x，y）=f（x，-y）=f（x，y），0，f（-x，y）=-f（x，y）或f（x，-y）=-f（x，y），

注：既要注意积分域的对称性，又要注意被积函数在所讨论积分域上空间图形的对称性。

例1.设D是平面xOy上以（1，1），（-1，1）和（-1，-1）为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，（xy+cosxsiny）等于（  ）.

A.xydxdy

C（xy+cosxsiny）dxdy D.0

解：积分区域D关于x轴、y轴都不对称，而被积函数却有奇偶性，因而用y=-x以及坐标轴将D分为四部分D1，D2，D3，D4。其中D3和D4关于x轴对称，而xy+cosxsiny关于y为奇函数，

（xy+cosxsiny）dxdy=0.

又D1与D2关于y轴对称，而xy与cosxsiny分别关于x为奇函数，偶函数，sxsinydxdy

xsiny）dxdy=

选A.

例2.

解：积分区域D分成四个相等的子域D1，D2，D3，D4，积分区域既关于x轴对称，又关于y轴对称，且被积函数xy为偶函数，故

二、三重积分的对称性定理

（一）若积分域Ω关于xOy面对稱，而Ω1是Ω中对应于z≥0的部分，则

x  若积分域Ω关于xOz面或yOz面对称时，也有类似的结论。

（二）若积分域Ω关于xOy面和xOz面均对称，而Ω1是Ω中对应于z≥0，y≥0的部分，则

x，y，z）dv，当f关于y，z均为偶函数。0，当f关于y或z为奇函数。

若积分域Ω关于xOz面和yOz面，或关于xOy面和yOz面均对称时，也有类似的结论。

（三）若积分域Ω关于三个坐标面均对称，而Ω1是Ω中位于第一卦限的部分，则

x，y，z）dv，当f关于x，y，z均为偶函数。0，当f关于x或y或z为奇函数。

例3.求I=.

解：由于Ω关于三个坐标面都对称，且xy，yz分别是x，y，z的奇函数，所以I=0.

综上所述，二重积分、三重积分的计算，除了传统方法外，还需要有对称性的使用意识，善于将积分区域进行划分，变不对称为对称，并利用可加性将被积函数进行合理的组合、搭配，利用奇偶对称性，使计算量大大减少，以快速解题。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].6版.高等教育出版社，2007.

[2]雷发社.高等数学重点难点100讲[M].陕西科学技术出版社，2003.