常　晓

(1.同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室，上海　200092；　2.同济大学土木工程学院，上海　200092)

0　引言

在基坑工程中，对地下水的控制一直是重要研究课题。尤其是在基坑下存在承压含水层时，对承压水的正确处理不仅关系基坑本体的安全，也对基坑周围环境的安危具有重大影响。为此，通常基坑工程中会通过抽水井抽水来降低承压水头，以满足基坑坑底抗突涌稳定性的要求。基坑开挖降水引起的地层变形也要控制在合理的范围内，因而需要合理计算抽降承压水引起的地层变形量。

抽降承压水诱发的地层变形计算主要涉及到地下水的渗流和土体变形这两方面[1]。Hantush和Jacob(1955)[2]提出了不考虑弱透水层弹性释水但有越流补给情况下，承压含水层中完整井抽水引起的稳定流和非稳定流水位降深解析解。Gambolati和Freeze(1973)[3]在研究威尼斯地区由地下水开采引起的地面沉降时首次提出两步法计算模型，并采用有限差分法求得该模型的解。陈崇希(2001)[4]和Chen(2003)[5]运用有限差分法，在建立考虑了渗透系数随孔隙比变化的三维渗流和一维非线性固结的部分耦合模型的基础上，对苏州地区的地面沉降的新特征进行了模拟。Verruijt(1969)[6]及Bear和Corapcioglu(1981)[7]假定抽水含水层处于平面应力状态，基于Biot固结理论将含水层厚度方向积分后等效为均值，建立了含水层沉降计算模型等。

本文基于Biot固结理论的完全耦合模型，研究抽降承压水引起地层二维变形，将地下水渗流模型和土体变形理论统一在同一物理场内，考虑地下水渗流和土体变形的相互作用，获得真正的流固耦合的完全承压含水层及越流承压含水层侧向无限延伸条件下的完整井抽水引起地层的二维变形解析解。

1　饱和土体固结控制方程

1.1　质量守恒方程

首先建立孔隙流体的质量守恒方程，在连续介质土体中取一微元体如图1所示，该单元体积为V，则V=ΔxΔyΔz，其中,Δx,Δy和Δz分别为单元体沿坐标轴x,y和z的单位长度。孔隙流体的质量为nρfV。

根据流体质量守恒原理可得：

(1)

同理可以得到孔隙介质骨架的质量守恒方程为：

(2)

孔隙流体与孔隙介质颗粒的状态方程可表达为：

dρf=βfρfdp

(3)

(4)

其中，βf为孔隙流体的压缩系数；βs为在孔隙流体压力作用下孔隙介质颗粒的压缩系数。

(5)

(6)

其中：

(7)

根据太沙基有效应力原理，对各向同性线弹性体有σ′=-ε/βb；αβ=1-βs/βb为Biot-Willis系数，βb为土体压缩模量K的倒数，此时式(6)变成：

(8)

其中：

S=nβf+(αβ-n)βs

(9)

如忽略固体颗粒的压缩，土体质量守恒式(6)变为：

(10)

(11)

1.2　平衡方程

在饱和土体中取一微分单元体，如不考虑体积力，z坐标向上为正，应力以压为正，则三维平衡微分方程为：

(12)

根据太沙基有效应力原理知总应力为有效应力和孔隙压力p之和，且孔隙水不承受剪应力，由此可得由有效应力表示的静力平衡方程：

(13)

1.3　土体本构和相容方程

土体的变形是由有效应力引起的，假定土体的有效应力和应变之间满足广义胡克定律，对各向同性的线弹性土体，其可表示为：

(14)

在小应变假定下，联立几何相容方程、本构方程和平衡方程，容易得到在直角坐标系下以位移和空隙压力表示的平衡微分方程：

(15)

其中，▽2为在直角坐标系下的拉普拉斯算子。

土体的固结控制方程即由以上质量守恒方程、静力平衡方程、物性本构方程和几何方程组成，渗流和固结是完全耦合的。

2　完全承压含水层中抽灌完整井引起的土体二维固结解析解

假定含水层的变形处于平面应力状态，即竖向抽水井引起的固结变形是基于竖向总应力始终保持不变，剪应力也不变。当地下水向非完整井流动时，由于滤水管没有贯穿整个含水层，在水井附近地下水的压力水头和流速是随着平面位置和高程而变化的，发生的是三维流动，产生的变形是三维的，易得知只有完整井抽水才满足平面应力假定条件。因此本文研究抽灌完整井作用引起的土体平面应力固结问题。

2.1　基本假定与控制方程

侧向无限完全承压含水层中存在一个完整井以定流量Q抽水，井壁流量均布。含水层土层厚度为B，径向渗透系数为Kr。

由于平面应力固结模型中假定竖向总应力保持不变即竖向总应力增量为0，根据土体固结控制方程易得到：

(16)

由于完整井抽水作用引起的是轴对称变形，在平面应力状态下，体应变的表达式为：

(17)

将式(17)代入式(16)可得：

(18)

(19)

将式(19)中f称为无量纲积分常数，实际上是z和t的函数。对于径向无限延伸的含水层这一积分常数可以视为0，即孔隙水压力和所有应变均为0。

当f=0时，式(17)～式(19)可化简为：

(20)

(21)

(22)

式(20)～式(22)为平面应力模型假设下的基本控制方程(Verruijt，1969[6]；Bear&Corapcooglu，1981[7])。在平面应力模型中体应变的大小有水平应变和纵向应变的贡献。而在经典理论中，因为水平应变假设等于0，所以体应变值就等于竖向应变。

2.2　孔压的求解

在平面应力状态下，土体质量守恒方程为：

(23)

将式(20)代入式(23)：

(24)

固结系数cv定义如下：

(25)

对式(24)中的t进行Laplace变换后得：

(26)

其中，s为Laplace变换参数。

式(26)的解为：

(27)

为了满足在无限远处孔压为0的边界条件，易得式(27)中的待定系数A1=0。

承压完整井抽水时的井边界条件为：

(28)

对井边界条件式(28)进行Laplace变换后得：

(29)

将式(27)代入式(29)后易得常数A2，而后进行Laplace逆变换后可得孔隙水压力在真实物理域内的解析表达为：

(30)

2.3　位移的求解

将式(30)代入式(20)中的应变值可表示为：

(31)

将式(31)代入式(21)中，并对r进行积分：

(32)

当：

(33)

(34)

竖向位移可以从式(31)中直接得出来：

(35)

假设承压含水层的底面竖向位移为0，w代表含水层上表面的竖向位移，可得出：

(36)

3　越流承压含水层中抽灌井引起的土体二维固结解析解

3.1　基本假定与控制方程

从上小节中我们已经得到：

(37)

(38)

(39)

根据土体质量守恒方程需增加一个越流项，可表示为：

(40)

其中，λ2=KBB′/K′,K为承压抽水层的渗透系数，K′为弱透水层的渗透系数，B为抽水含水层的厚度，B′为弱透水层的厚度，λ为越流因子。

3.2　孔压的求解

联立式(37)和式(40)可得：

(41)

(42)

式(41)应满足如下边界条件：

r→∞:p=0

(43)

(44)

对式(41)及其边界条件进行Laplace变换，求得Laplace空间下的解析式为：

(45)

逆变换可得孔隙水压力的闭合解析解为：

(46)

其中，W(x,a)为Hantush 和Jacob井函数，具体表达式为：

(47)

考虑到W(0,a)=2K0(a)，当抽水时间足够长时，孔压的解析表达式变为：

(48)

3.3　位移的求解

将式(45)代入经Laplace变化后的控制方程后联立并经Laplace逆变换后可得抽水含水层顶面的位移的闭合解析解：

(49)

考虑到W(0,a)=2K0(a)，当抽水时间足够长时，抽水含水层地面的位移解析表达式变为：

(50)

(51)

其中，A为积分常数，当x→0时K1(x)≈1/x，并且径向位移为0，从式(51)中可以得到：

(52)

将式(52)代入式(51)得：

(53)

对式(53)进行逆变换最终得到径向位移的完整表达式为：

(54)

从式(54)也很容易验证得到ρ→0和ρ→∞时，径向位移均为0，满足给定边界条件。

此外，当抽水时间足够长时，即τ→∞，则渗流稳定状态下的径向位移解析表达式为：

(55)

4　结语

1)基于Biot固结理论以及完全承压含水层中完整井抽水的特点，以平面应力假设模型为基础，应用Laplace变换技术，求解得到了完全承压含水层和侧向无限延伸情况下，抽降水引起的水位降深解析解，并应用土力学原理，获得了完整井抽水引起地层的二维变形解析解，利用该解析解可以计算在稳定流和非稳定流抽水作用下承压含水层的径向和竖向变形。

2)同样基于平面应力固结模型假定的基础上，应用Laplace积分变换技术，得到了承压含水层在有越流补给情况下，完整井抽水引起的地层的孔压、径向位移和竖向位移的解析表达。

3)本文得到的方法，对灌水引起的地层变形同样适用。