■侯怡含

从近几年高考题中的平面向量问题可以看出，在选择题和填空题中主要考查向量的基本知识，在解答题中主要考查有关向量的计算问题。下面举例说明平面向量中的四个常用的结论，供大家学习与参考。

结论1：设向量不共线，点P在直线AB上，则，且λ+μ=1，λ，μ∈R。

例 1设D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，则=( )。

解：因为D，E，F分别为△ABC的边BC，选A。

例 2如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，若AB=为( )。

图1

解：因为B，D，C三点共线，所以λ=1，解得λ=

过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则

因为∠BAC=60°，所以四边形ANDM是菱形，可得||=3，即得||=12。

友情提醒：解答本题的关键是利用结论1求出λ的值。

结论2：若向量a，b不共线，则λ a+μb=0的充要条件是λ=μ=0。

例 3已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2。问是否存在这样的实数λ，μ，使得向量d=λ a+μb与c共线。

解：向量d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2，要使向量d与c共线，则存在实数k满足d=k c，即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2k e1-9k e2，

故存在这样的实数λ，μ，只要λ=-2μ，就能使得d与c共线。

友情提醒：在求解向量问题中，要注意结论2与待定系数法的结合应用。

(方法2)如图2，连接MN 并延长交AB的延长线于点T。

图2

友情提醒：平面上任意向量v可分解为不共线向量e1，e2的线性组合:v=x e1+y e2。若e1，e2是平面内的一组基底，则对该平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，特别地，当a=0，即λ1e1+λ2e2=0时，必有λ1=λ2=0。

结论3：对于不为0的实数λ，若=λ则A，B，C三点共线。

例 5设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且，则( )。

A.反向平行 B.同向平行

C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

友情提醒：利用结论3是解答本题的关键。证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。

图3

解：由=0，可知G为△ABC的重心。

取AB的中点D，连接G D，则

友情提醒：三角形的三条中线必相交于一点，其交点为三角形的重心。三角形的重心分割中线所成的线段之比为2∶1。本题主要考查向量的平行四边形法则的应用。