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数学运算是六大数学核心素养之一，也是当今学生较为弱化的一项重要能力.解析几何在高考中扮演了考查数学运算素养的重要角色．因其综合性强，题型多样，方法灵活，运算量大，数学思想丰富，学生普遍望题生畏．在高三综合测试中，解几题无一不是主要失分题．对这样的大众“难算”题，唯有提高运算素养方能标本兼治.巴金先生说：“学写作，只有写，才会写．”同样，攻克解几运算难关，只有算，才会算．以下，笔者以一道解几综合题的讲评与反思为例，从五个方面谈谈解析几何中如何发展数学运算素养，与同行交流探讨．

图1

(2)设点P的轨迹为C，点M,N是轨迹C上不同于A,B的两点，且满足AP∥OM,BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．

这是一道高考模拟题．第(2)小问很多学生求出点M,N的坐标后就止步了，难度系数仅为0.36．得分如此低，问题出在哪？

1.说困难，明晰运算障碍——山重水复疑无路

学生是学习的主人，复习课亦如此．经历解题碰壁，学生心中各有苦闷，讲评时要善于倾听学生的解题困惑，了解其知识缺陷、思维障碍、方法选择、运算困难，使讲评更具针对性．学生的主要思路如下：

生2：(整体代换法2)由已知得kOM·kON=

2.观路径，优化运算方法——柳暗花明又一村

解析几何题的特点是“想想容易，计算难”，特别是解题路径选择不当时，往往会卡死在繁琐的运算中．讲评时，应分析学生解题受阻的原因，引导其优化解题方法，顺应学生思路，帮助其逐步突破“藩篱”，让他享受到解题成功的快乐，以免陷入“屡战屡败”的畏难情绪．

生5：(换底法)以OM为底，再求点N到OM的距离d，计算量就小多了……唉，是哦！一语惊醒“梦中人”，很多同学茅塞顿开．

师：求得点M,N的坐标后，还有什么方法可表示出S△MON？

师：S△MON的表达式与生4的解法不谋而合呀，怎么她的做法不行呢？

引导同学再次观察方程“①，②，③”．几个优生发现：方程①②左右两边相乘，再将方程③代入，得(x1y2-x2y1)2=6．定值得求．

异曲同工啊！一个个障碍被跨越，同学们的思考热情高涨起来！

师：多字母运算时，要充分运用已知条件，用宽广的视野进行整体观察、整体运算．设直线方程及交点的坐标，但“设而不求”，是解直线和圆锥曲线问题的通法，生3的解法问题又出在哪？

至此，解题疑惑全打开．大家发现还是“换底法”最简单，它成功避开了将直线方程代入椭圆方程的运算，省去了“根与系数关系及曲线弦长”的繁琐计算．同学们感叹：条条大路通罗马，路径选择很重要！

若就此结束讲评，学生看清的只是原来模糊的一棵“树”，运算体会还是停留在解决单一问题的浅层水平．维果斯基的“最近发展区理论”认为，教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，促进学生向更高水平发展．

3.探真相，形成运算程序——拨云见日现本质

师：△MON的面积为定值是必然还是巧合？对一般椭圆有类似性质吗？

老师肯定了同学们的猜想．原来△MON的面积为定值是必然而非巧合．研究“一棵树”，发现“一片林”．大家思维飞扬，笔者于是乘胜追击．

追问1：如果延长MO,NO交椭圆于M′,N′，则四边形MNM′N′的面积是否为定值？若是，定值是多少？

经过一番猜想、验证，同学们欣喜地发现：

云雾散去，真相大白．打开一扇门，推开一扇窗：一个特殊结论的背后原来隐藏着“不能说的秘密”．解析几何高冷的形象瞬时可爱起来．3个追问，让学生对圆锥曲线的“定值、取值”问题思考更深入、思维更发散、视野更开阔，促进程序化思考问题的习惯的形成.

4.谈体会，树立运算信心——阳光总在风雨后

课后，笔者让学生对考试时的解题困惑及听讲后的感受做了简要书面小结，其丰富的内心体验，让人颇受启发．

生6：要灵活变通解题路径

生7：不破楼兰终不还

生8：勇敢地算，不要怕繁长

做解几题时经常遇到较复杂的式子，不敢通分，导致化不到最简，无法算出结果．看过几道题后发觉，直线与椭圆有多个交点不确定时，大都可设直线方程解题，但要利用已知条件将点与点之间的关系建立起来，能整体同理代换最好，大大减少计算量．要勇敢地算，不要怕繁长的式子，最后一般都能约掉．

5.教后感，强化运算实践——绝知此事要躬行

解题具有实践性和探索性．波利亚说：“你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题高手，你就必须去解题．”弗里德曼特别强调：解题训练的心理学研究表明，学生在解题时不具备一般能力的基本原因，在于没有经常亲自动手进行分析，没有从中归纳出一般的运算方法及其理论根据．单墫教授认为，解题是一门实践性的学问，必须通过解题学解题．解析几何题的两大难点是：方法选择和运算化简．正如前面几位数学家所言，这两项素养只有在解题实践中摸索感悟、积累练就．因此，解析几何问题一定要舍得花时间让学生思考、运算和表达，让学生在自己解题、看人解题中学解题．解几复习教学中，认为让老师板书、学生计算很花时间，追求高容量、快节奏，重方法、轻过程的现象普遍存在；教师“一言堂”的讲评方式成常态．长此以往，复习教学广种薄收，助长了解几题成为学生啃不动的“老大难”问题．解析几何综合题虽然难度大，能力要求高，但复习教学中只要给学生“学会”的机会，还是能知难而进的．

第二，注重培养思维的灵活性．思维的灵活性是指转向的及时性，以及不过多地受思维定式的影响，善于从旧的模式或通常的制约条件中摆脱出来；是面对陌生情境能快速找到问题解决方法的良好思维品质．本课例中，大多数学生受“根与系数的关系”及“直线被曲线所截弦长”的定势影响，选择“设而不求法”和以MN为底求三角形的面积，导致陷入繁琐运算的沼泽．教学中，老师常将“直线与圆锥曲线问题”的解决程序化：①设直线方程，②将直线方程代入曲线方程，③用“根与系数的关系”求弦长或其它相关量．所以，学生在解题中形成思维定势、方法定势也在情理之中．其实，“换底法”和“图形割补法”更强调几何直观，注意从几何的角度分析与寻找问题解决的办法，而这也是解析几何问题的一个新导向．“几何属性”的恰当介入，突显了解析几何题“能力立意与多思少算”的命题特点．教师首先要跳出定势，设计不同类型的问题，引导学生在解题实践中体会、领悟解法的灵活性．

第三，不能贪量，而应求质．解析几何题虽千变万化，但在方法选择与计算策略上还是有相通之处．例如，什么时候宜正设直线方程：y=kx+t，什么时候宜反设直线方程：x=ky+t；涉及直线与曲线交点问题，通常运用韦达定理“设而不求”；双变量运算化简中，通常先化简再代入、尽量运用整体代换，如在本课例“设而不求法”中，若过早将“2t2=2m2+3”代入“y1+y2,y1·y2”，运算将非常复杂．在解析几何综合问题复习教学中，泛讲十题，不如练透一题：让学生用符合自己思维习惯的通法将题目解完整、做严谨；在多种方法的优劣比较中，感悟运算的优化、方法的选择；通过一个特殊结论，发现一片普通属性．“练透”的过程，同时也是扎实基础知识、训练思维能力、历练解题意志、丰富经验题感的过程．

罗增儒教授说：“基础知识要通过解题实践来消化；思维素质要通过解题实践来优化；解题方法要通过解题实践来强化．”同样，运算素养要通过解题实践来发展．解析几何教学中，应多为学生提供“思与算”的机会，让学生在解题实践中提升数学运算素养．

[1]罗增儒，数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2004.