摘要：平面向量是整个中学数学中特别重要的一部分，特别是在高中阶段，很多方面的知识点都需要用向量来辅助解题。同时，向量也是高考中的一个重要阶段。三角函数作为高中阶段的一个重要模块，在高考中占据着重要地位，是每年高考中不可或缺的题目。本文主要讨论了怎样借助向量方法来解答三角函数的问题。

关键词：平面向量；三角函数；解题

1、问题的提出

数学是思维的科学，其重要性不只体现在数学知识的应用，更重要的是体现在数学的思维方式。理性思维能力包括：直觉猜想、运算求解、演绎证明、逻辑推理、归纳抽象等。高考“注重对数学内涵的理解，多角度、多层次地考查数学理性思维及数学素养和潜能”，在高考复习的各个阶段都要重视理性思维的培养和发展。尤其是在知识点交汇处命题备受命题专家的青睐。

三角函数与平面向量是高中数学重点内容，也是高考重点考查内容之一，在历年高考中客观题与主观题并存出现，对“四基”进行了全面的考查，在命题上，主要以中档偏下题目为主。而本文以一道简单的例题和两道高考题为案例，以浅现深，以点带面来分析几道平面向量与三角函数交汇的题目，进而提高学生的数学素养，发展其理性思维能力。

2、用一个简单的例题说明平面向量在三角函数中的应用

例1已知函数 ，求其函数图像按向量 平移后所得到的图象的解析式。

解析：因为 ，经平移后的解析式为

点评：在中学阶段，向量方法可以用来解决很多不同类型的题目，该题就是典型的运用平面向量来解决三角函數的问题，主要运用了平面向量的平移来解决三角函数的解析式问题。向量是整个中学数学中比较特殊的一部分，它不属于代数的范畴，也不完全属于几何的一部分，同时又都与他们有着一定的联系，代数和几何的很多知识都可以和平面向量结合在一起出题。在高中阶段，涉及到的很多三角函数问题都是可以用平面向量的方法来解决的，而且学生思路会更加清晰明了。因此，在高考中，经常出现平面向量和三角函数想结合的问题，下面就以两道高考题为例来具体说明。

3、从两道高考题来看平面向量和三角函数的结合在高考中的应用

例2 已知向量 .

若 求 的值；记 求 的最大值和最小值以及对应的 值.

解析：（1）因为 ，所以

若 ，则 ，与 矛盾，故 .于是 .

（2）

因为 ，所以 ，从而 .于是，当 ，即 时， 取到最小值3；当 ，即 取到最小值 .又 ，所以 .

点评：这道题主要考察了平面向量的线性运算来展示平面向量在三角函数解

题中的应用。在本题的第一问中利用线性运算来求解，由 可得 ，

然后就可以根据 的范围来确定 的值；第二问是根据平面向量的数量积，再结合三角函数的性质来求解 的最值。例3 设向量

解析：（1）由

，及 ，可得 .因为

当 时， 取最大值1，所以 的最大值为 .

点评：在第一问中运用了平面向量的关于模长的运算来求 的值，第二问主要是将数量积的运算和三角函数的恒等变形相结合来求解函数的最大值，使解题思路更加清晰明了。

由上可知，这方面的题目比较灵活，学生即使记住了公式，却不能灵活的使用，而且思维固定，不能在短时间内想到正确的解题思路，因此错误率比较高。为了解决这一问题，经过探讨、研究，发现可以将平面向量融入到三角函数中，能够更好地解决平面向量和三角函数中的难题。

参考文献：

[1]杨亮.高中数学解题中向量方法的应用研究[J].高中数理化，2015（18）：10.

[2]石小胜.向量与三角函数的综合应用[J].高中数学教与学，2011（02）：38-40.

作者简介：郑茜鑫，女，河南周口人，河南师范大学数学与信息科学学院2017级学科教学（数学）专业教育硕士。