拉格朗日插值公式的推导过程探究

2018-05-23房亚姿

通化师范学院学报 2018年6期

关键词：线性方程组行列式拉格朗

杨军，房亚姿

1 问题的提出

给定数域F中n+1个互不相同的数a1,a2,…,an+1，以及任意n+1个不全为0的数b1,b2,···,bn+1，那么在F[x]中存在唯一的次数不超过n的多项式f(x)，使得

并且多项式f(x)可表示为

这个公式叫作拉格朗日插值公式.

拉格朗日插值公式是高等代数中的一个重要公式［1-3］，但通用教材高等教育出版社《高等代数》［4］直接给出该公式，没有任何的推导过程.面对这个近乎完美又略显复杂的公式，无论是教师还是学生，只能选择生硬地记住它、接受它.

其实，在相关文献中（例如文献［5］），利用线性方程组理论，经过一系列的变换推出了拉格朗日插值公式，但这种推导过程技巧性太强，属于人为配凑，并且推导过程复杂.本文首先介绍文献［5］中这种复杂的利用线性方程组理论推导的过程，然后从熟悉的一次函数、二次函数出发，探寻拉格朗日插值公式的另一种推导过程，借此说明数学的自然性、和谐性与严谨性.

2 利用线性方程组理论推导拉格朗日插值公式

设满足条件（1）式的次数不超过n的多项式f(x)=c0+c1x+c2x2+…+cnxn.由f(ai)=bi(i=1,2,…,n+1)，可得

此式是一个以c0,c1,…,cn为未知数的n+1个方程的线性方程组.其系数行列式（记为D）是n+1阶范德蒙行列式，且

又因为i≠j时，ai≠aj，所以D≠0，线性方程组（3）有唯一解c0,c1,…,cn.因此在F[x]中存在唯一的次数不超过n的多项式f(x)=c0+c1x+c2x2+…+cnxn，使f(ai)=bi(i=1,2,…,n+1)成立.

由克莱姆法则可得(j=0,1,…,n)，其中Dj+1是将D中第j+1列换成（3）中的常数列b1,b2,···,bn+1所得到的行列式

将代入多项式f(x)=c0+c1x+c2x2+…+cnxn，得到

其中，Aij是D中aij的代数余子式.交换（4）式中的双重求和符号，得到

而

这也是一个n+1阶范德蒙行列式.于是有

将（6）式带入（5）式可得进而得到拉格朗日插值公式.

文献［5］中的上述推导过程实质是待定系数法，可以看到其推导过程存在太多人为配凑的痕迹，技巧性强，过程复杂.

3 拉格朗日插值公式的另一种推导过程

现在从熟悉的一次函数、二次函数入手，利用逐次逼近思想，给出拉格朗日插值公式的另一种推导过程.

问题1 已知直线l经过两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中x1≠x2，求这条直线的方程.

由直线方程的点斜式可得直线l的方程为x-x1),进而变形为

令y=f1(x)，得到f1(x)=这就是拉格朗日插值公式中当n=1时的情形，即线性插值.

问题2 如图1所示，抛物线f2(x)经过不共线的三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，其中x1,x2,x3互不相等，求这条抛物线的解析式f2(x).

图1 抛物线 f2(x)的图像

分析f2(x)的图象是经过不共线三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)的抛物线，在问题1中，f1(x)的图象是经过两点A(x1,y1),B(x2,y2),的直线，从而f2(x)的图象是过问题1中已有的两点A(x1,y1),B(x2,y2),以及点C(x3,y3)的抛物线.这样，可以把二次函数f2(x)视作在原有的一次函数f1(x)的基础上升级得到.从而可以把二次多项式f2(x)表示为f2(x)＝f1(x)+h(x)，其中h(x)显然是一个二次多项式.

注意到f1(x)与f2(x)的图象均过点A(x1,y1),B(x2,y2)，即f2(x1)=f1(x1)，f2(x2)=f1(x2)，从而h(x1)=h(x2)=0，表明二次多项式h(x)有两个零点x1,x2，故h(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中a≠0.则f2(x)=f1(x)+a(x-x1)(x-x2)，将问题1中f1(x)的解析式代入此式即得

接下来只需求出系数a即可.由f2(x)的图象经过第三个点C(x3,y3)，将C点坐标带入（7）式，解得

从而

整理即得

由此得到了n=2时的拉格朗日插值公式，即抛物插值.

另外，当A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点共线时，二次抛物线退化为一条直线，此时

则仍然成立.

问题1和问题2表明，n=2时的拉格朗日插值公式可以通过n=1时的拉格朗日插值公式升次得到.拉格朗日插值公式的一般情形的推导仍然遵循上述基本思路，即利用数学归纳法从低次多项式逐次逼近到高次多项式.

对任意k+1个点A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,Ak+1(xk+1,yk+1)，假设存在一个不超过k次的多项式函数fk(x)满足fk(xi)=yi，其中i=1,2,…,k+1.这里x1,x2,…,xk+1互不相等，且fk(x)可表示为拉格朗日插值公式的情形，即

现增加一个点Ak+2(xk+2,yk+2)，且x1,x2,…,xk+1,xk+2互不相等，下面求满足fk+1(xi)=yi（i=1,2,…,k+2）的不超过k+1次多项式函数fk+1(x).因为fk(x)的图象经过点A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，…，Ak+1(xk+1,yk+1)，且fk(x)是一个不超过k次的多项式，而fk+1(xi)=yi(i=1,2,…,k+2)是经过fk(x)的图象所经过的k+1个点的一个不超过k+1次的多项式函数，所以可在多项式函数fk(x)的基础上增加一个不超过k+1次的多项式函数hk+1(x)，即fk+1(x)=fk(x)+hk+1(x)，其中，hk+1(x)是一个不超过k+1次的多项式.

同理，因为fk+1(x)和fk(x)在x=xi(i=1,2,…,k+1)处的函数值均相等，即fk+1(xi)=fk(xi)(i=1,2,…,k+1)，所以hk+1(x)有k+1个零点x=xi(i=1,2,…,k+1)，故多项式hk+1(x)可表示成hk+1(x)=b(x-x1)…(x-xk)(x-xk+1)，其中b≠0.从而