陈厚尊

所谓的提丢斯一波得定则（Titius Bode Law）是一套纯粹的经验关系，源于一个简单的数学游戏。为了说明它，我们首先给出如下一串数列：

0，3，6，

12，24，48，96，192，……

这串数列的规律很简单：除了前两个数字0和3以外，后面的数字依次是前一个数字的2倍。之后，我们为每一个数字加4，得到一串新数列：

4，7，10，16，28，52，100，196，……

再全部除以10，得到：

0.4，0.7，

1.0，

1.6，2.8，5.2，10.0，19.6，……

如果你去查一下太阳系各大行星到太阳的平均距离（以天文单位AU为单位），你会得到水星为0.39，金星为0.72，地球是1（这是显然的），火星是1.52，小行星带散布于2.17至3.64之间，均值为2.9，木星是5.20，土星是9.54，天王星是19.18……与上面数列的误差均在5%以内！

事实上，早在18世纪中叶，这套经验关系就被一位名叫丹尼尔·提丢斯的中学教师发现，后被柏林天文台台长约翰·波得归纳成经验公式发表。当时的天文学家只知晓水星、金星、火星、木星和土星五颗肉眼可见的明亮大行星，与上面的数列对比下来，波得发现在2.8的位置有一个明显的空缺。他猜测在距离太阳2.8个天文单位的位置上应该存在一颗“丢失的”大行星。天文学家闻讯热情高涨，立刻响应波得的号召，搜索这颗未知的天体，然而十几年过去了均一无所获。直到1781年，英国天文学家威廉·赫歇尔在金牛座中意外地发现了一颗疑似是彗星的太阳系内天体。波得猜测它是一颗新的行星，并计算了它的轨道，发现它到太阳的距离与提丢斯数列上继土星之后的下一项——19.6——相吻合（天王星的轨道半径约为19.2天文单位）。这便是太阳系第七大行星——天王星——的发现。这更加使天文学家确信，在火星轨道和木星轨道之间，必定隐藏着一颗未知的大行星。20年后，位于意大利西西里岛的一个偏僻的天文台终于传出消息：此台台长在进行常规观测时，发现了一颗新天体，经过计算，它到太阳的平均距离是2.77天文单位，与期待中的2.8极为近似。新天体被命名为谷神星（Ceres）。可是与其他大行星比起来，谷神星的个头实在太小了，半径只有473千米。我倒觉得此事应在意料之内，因为假如在这个位置上存在与地球体积相仿的大行星的话，它在冲日的时候应当肉眼可见。后来，天文学家在火星和木星轨道之间陆续又发现了许多围绕太阳公转的天体，个头也都不大。如今我们知道，在提丢斯数列2.8的位置上没有大行星，而是存在一条小行星带，数以万计的小天体散落其间。随着天体力学的发展，天文学家逐渐认识到小行星带的存在并非偶然。太阳和木星是太阳系内的引力主导天体，两者的引力作用使得提丢斯数列2.8的位置上并不具备大行星的形成条件，所以就留下了数不清的大行星“边角料”。

接下来便是勒威耶在“笔尖”上发现海王星的传世佳话了。勒威耶是法国数学家、天文学家，天体力学功底格外扎实，又工于计算。在他35岁时，就凭借天文观测所得的天王星轨道扰动，反推出了一颗新行星（海王星）的轨道参数，因此名声大震。但是，新发现的海王星似乎是提丢斯一波得定则的一个反例，它并不在数列预言的38.8的位置上，而是要近许多（它到太阳的平均距离只有30.11天文单位），误差达到了20%。鉴于海王星拥有的庞大体积和质量，很难质疑它大行星的地位，因此，天文学家只好将坚持了80年的提丢斯一波得定则扔进历史的垃圾桶。

实际上，除了太阳系的大行星系统以外，天文学家还在成员数目较多的气态行星的卫星系统中发现了与提丢斯一波得定则类似的经验规律。以木卫系统为例，在天文望远镜的低倍视场中，这里像极了一个微缩版的“太阳系”。1610年，伽利略使用自制的折射望远镜第一次发现了围绕木星公转的四颗大卫星，它们从内到外依次被命名为艾奥（木卫一）、欧罗巴（木卫二）、加米尼德（木卫三）和卡利斯托（木卫四）。1892年9月9日，又一颗木星的卫星阿马尔塞（木卫五）被美国著名天文学家爱德华·巴纳德依靠目视发现。木卫五的轨道在木卫一之内，非常靠近木星。天文学家发现，若给出如下一串数列：

0，1 2，24，48，96，……

先在每个数字上加10，然后再除以10，可以得到新数列：

1.0，2.2，3.4，5.8，10.6.……

这个数列恰好与以木卫五为基准单位，木卫五、木卫一、木卫二、木卫三、木卫四到木星的平均距离相吻合。在土卫系统、天卫系统和海衛系统中也都存在这样的“类提丢斯数列”，当然，也同时存在许多如海王星这样的反例。其中一些反例可以用后期俘获说来解释，另一些则不能。如何解释这一现象呢？

天文学家猜测，这也许是轨道共振现象（OrbitalResonance）在太阳系的长期演化中留下的痕迹。所谓轨道共振，是指当两个天体的公转周期之比为有理数时，就像荡秋千时不断在同一位置施加推力一样，会出现周期性的引力作用，长此以往产生积累性影响，从而导致轨道的不稳定。轨道共振导致轨道不稳定的一个最佳实例来自土星环。当视宁度好的时候，即使是小型天文望远镜也能在土星环中看到一条黑色的缝隙，这就是土星环中最宽的卡西尼缝，最早由意大利天文学家卡西尼发现。卡西尼缝将土星环分成了A环和B环。可是，卡西尼缝是怎么来的呢？原来，在土卫系统中，有一颗长得像《星球大战》里“死星”的卫星：美马斯（又称土卫一），它虽然只是土星的第七大卫星，却是大个头的卫星里离土星最近的一个，因此也影响了土星环的形状。天文学家发现，卡西尼环缝中的天体的轨道周期恰好是美马斯轨道周期的1/2，也就是说，卡西尼环缝中的天体与美马斯形成了1：2的轨道共振关系，所以是不稳定的。

回到提丢斯一波得定则的问题上来。我们注意到，构造这种“类提丢斯数列”的出发点往往是一组等比数列，其公比是2或者3。这意味着，在符合提丢斯一波得定则的卫星或行星系统中，相邻两个成员间的轨道半径有个近似的等比关系（比如木星到太阳的距离差不多是火星的2倍，土星又是木星的2倍，等等）。读者不妨回忆下高中数学的相关内容，等比数列的通项公式本质上是个指数函数。另一方面，根据开普勒第三定律，行星公转轨道半径的三次方与公转周期的平方之比是个与行星无关的常数。因此，受提丢斯一波得定则约束的行星系统，其任意两个成员之间的公转周期之比都不太可能是有理数，自然也就不存在轨道共振关系。不过，真正的逻辑应该是反过来的，即：太阳系早期的数个大行星胚胎在公转过程中相互影响（主要是依靠轨道共振相互推挤），逐渐清空了共振轨道附近的小天体，最后只留下了在提丢斯数列指定位置附近的大行星候选者。照此看来，提丢斯一波得定则存在反例就不奇怪了，因为它并非脱胎于某个严格的物理定律，说到底也只是解决轨道共振不稳定性的一个方案而已。换句话说，只要各大行星间的轨道不存在共振，当前的布局就能稳定存在下去，不一定非要严格遵循提丢斯一波得定则指定的位置。

问题就此解决了吗？当然不是。事实上，关于提丢斯一波得定则的起源，至今并没有一套令人信服的物理图像，以上解釋也仅仅是个假说而已，许多细节都似是而非，难以自圆其说。尤其是进入21世纪以来，得益于开普勒卫星的发射以及数据分析手段的进步，天文学家几乎在一夜之间就“井喷般”发现了空前数目的系外行星，其中既有体积庞大的类木行星，也有大小与地球相仿的类地行星，有的恒星近旁还发现了不止一颗行星。如此一来，天文学家就有了许多样本，来检验提丢斯一波得定则的普适性。的确，有的系外行星系统似乎也遵循类似于提丢斯一波得定则的分布模式，但更多的行星围绕恒星公转的轨道其实是五花八门、毫无规律可言的。更有甚者，天文学家还在许多恒星的近旁发现了体积堪比木星的巨行星。此类行星有个形象的别称：热木星（HotJupiter）。热木星的存在严重挑战了传统的行星形成理论，自然，天文学家以此为基础提出的提丢斯一波得定则的形成假说也面临着崩塌的危险。目前来看，行星迁移机制（PlanetaryMigration）是解释热木星存在的唯一合理的假说。至于提丢斯一波得定则是否能与行星迁移机制挂上钩，更是未知中的未知。