周忠欣，金丰年，袁小军，陈海龙，周健南，徐 迎，孔新立

(陆军工程大学国防工程学院爆炸冲击防灾减灾国家重点实验室，江苏 南京 210007)

目前针对地下结构除基于核爆炸或模拟核爆炸作用外的研究，基于常规武器爆炸的研究也逐渐备受重视[1-3]。但由于结构与介质之间复杂的相互作用，对地下拱形结构的研究较少。陈海龙等[4]利用简化的拱形振动方程，给出爆点位于拱形结构正上方处的弹性动力响应解析解。然而，由于爆炸荷载位置的不确定性，侧向爆炸荷载作用对结构的响应研究更具有适用性。杨昇田等[5]根据大量试验和数值分析得到侧向爆炸作用下直墙拱顶衬砌动力响应解析解，同时给出压力函数的解析表达式。计算结构-介质之间的相互作用常见于2种方式：MSSI(modified soil-structure interaction)理论和Constantino相互作用理论。Miller等[6]、Weidlinger等[7]利用这2种理论计算了结构和介质之间的动力响应。陈海龙等[8]将爆炸荷载简化为侧向均布荷载，对远场情况任意角度荷载作用下结构响应进行计算，得到了侧向荷载作用下结构的位移分布曲线。孙惠香等[9]、Henrych[10]利用有限元等方法对爆炸荷载作用下地下拱形结构与围岩的相互作用进行了研究。本文中，采用Henrych振型假设[10]与MSSI模型，理论推导非均布侧向爆炸荷载作用下拱结构的位移、速度和加速度等时程响应，以期获得更符合实际工况的响应结果。计算中假设爆点距离结构较远，对结构未造成较大程度破坏，结构处于弹性响应阶段。

1 侧向爆炸土中自由场荷载和位移

1.1 土中自由场荷载和位移

计算土中自由场峰值压力p0(R)和峰值位移w0(R)时，采用TM5-855-1[11]中给出的公式：

(1)

(2)

式中：f为耦合因数，其与比例爆距有关；ρs为土体介质密度，kg/m3；cs为地震波波速，m/s；R为考察点至装药中心的距离，m；WTNT为等效TNT装药的质量，kg；n为直接地冲击在介质中的衰减因数。

一般，地下爆炸产生的自由场荷载的时程函数和位移的时程函数可用指数衰减函数形式来表示：

σi(R,t)=p0(R)e-t/t0

(3)

wi(R,t)=w0(R)e-t/t0

(4)

式中：t为作用时间,s;t0为冲击波从爆点至结构的传播时间,s。

在工程应用时，通常可将指数衰减函数简化为突加三角形荷载：

(5)

式中：td为等效荷载持续时间,s。此时空间自由场荷载和位移可以表示为

σi(R,t)=p0(R)f(t)

(6)

wi(R,t)=w0(R)f(t)

(7)

1.2 结构表面自由场荷载和位移

如图1所示，当爆炸点发生在C点时，产生的冲击波在土中传播，作用在拱结构表面，在结构上i点处承受爆炸方向土压力σi(R,t)，由于土壤与结构的相互作用，会产生侧向土压力νσi(R,t)/(1-ν)。因此，结构表面实际载荷、位移关系为：

σfi(φ,θ,t)=

(8)

wfi(φ,θ,t)=wi(R,t)cos(θ+φ)

(9)

式中：ν为土壤泊松比；θ=θ1+θ0;θ1为作用点法线方向与竖直方向夹角，计算中规定θ1以Y轴为起始点，向第二象限旋转为正，向第一象限旋转为负；θ0为拱顶点方向与起爆点方向之间的夹角，规定θ0在第一象限为正，在第二象限为负；φ为入射应力波方向与起爆点法线方向之间的夹角。

由几何关系可以得到：

根据几何关系，将式(8)、(9)化为关于θ1、θ0的函数：

(10)

(11)

式中:L2=x2+(H+r)2，r为拱的半径，R为起爆点到作用点的距离，H为拱的埋深，x为起爆点到拱正上方点的水平距离，L为起爆点与拱心之间的距离，定义S2=r2-R2。

当θ1=-θ0时，即作用点与起爆点之间的连线为法线方向时，可得到拱结构上距离起爆点最近距离处自由场荷载和位移：

σfi(-θ0,θ0,t)=σi(L-r,t)

(12)

wfi(-θ0,θ0,t)=wi(L-r,t)

(13)

设ξ=r/H，将方程(11)化为关于ξ、θ1、θ0的载荷分布形式：

(14)

式中：

设ξ=r/H，将方程(12)化为关于ξ、θ1、θ0位移分布形式：

(15)

式中：

根据式(14)、(15)，在当θ0=30°，给定ξ时，可以得到对应作用在结构处自由场荷载、位移的分布形式。如图2(a)所示，当ξ不变时，随着衰减系数n的减小，结构表面自由场荷载的分布趋于平缓，局部荷载效应减弱，且最大值作用点对应的位置为起爆点的法线方向。图2(b)所示，随着衰减系数减小，位移的分布形式也趋于平缓，局部变形作用减弱。

图3表明，当衰减系数保持不变时，随着ξ的减小，爆点与结构之间的距离增大，结构的局部效应减弱，分布范围增大。当ξ增大时，位移变形的分布规律更类似于三角形分布，位移变形较为集中，对结构局部的损害较明显。

如图4(a)所示，随着角度的增加，偏移距离增大，各自由场冲击荷载的分布曲线的峰值点也随之偏移，且随着距离的增大，峰值逐渐降低，分布范围增加，局部效应减弱。如图4(b)所示，随着角度的增大，各位移曲线的峰值点也随之偏移，且随着距离的增大，峰值逐渐降低，出现位移的范围增加，结构的局部效应减弱。对结构的破坏影响较小。

2 结构振动方程

埋地拱结构与周围土体之间有一定的相互作用，运用MSSI理论得到结构表面的荷载分布形式：

(16)

2.1 薄拱的振动方程

对Henrych的拱的振动方程[10]进行简化，得：

(17)

式中：r为圆拱结构单元半径,E为杨氏模量;ω为自振频率;A为矩形截面,I为截面惯性矩;m为单元质量,m=ρA,ρ为密度;v(θ1,t)为切向位移;qw为径向外力。且：

(18)

对于弹性拱结构，利用振型的叠加，结构的位移函数可以表示为：

(19)

式中：k为序数。将方程(16)、(17)代入方程(18)中，化简可得：

(20)

根据振型的正交性，将公式(20)化简，得：

(21)

当对荷载时程函数不做简化时，f(t)=e-t/t0，因此在计算结构动力响应时，式(21)为：

(22)

式中：

2.2 结构弹性动力响应

(1)过阻尼情况时，ξk>1，对式(22)进行求解：

(23)

根据公式(7)，有：

(24)

速度函数、加速度函数分别为：

(2)欠阻尼情况时，ξk<1，对方程(22)进行求解：

(25)

根据公式(7)，有：

wk(θ1,t)=wk(θ1)fk(t)=

(26)

速度函数、加速度函数为wk(θ1,t)的一阶、二阶导数。

3 算 例

3.1 土体声阻抗的影响

结构两端固支，拱的整体角度为110°，在计算侧向偏移过程中，ξk=2，拱的半径为6 m，水平偏移距离为5.2 m，即θ0=30°，杨氏模量为29 GPa，炸药量为8 kg，拱的埋深为3 m，混凝土拱截面A=1 mm×0.8 mm，设爆炸荷载作用时间为15 ms。选择3种土壤进行比较，3种土的性质见表1，当土体声阻抗不同时，对爆炸点与拱圆心连线处拱上的拱点的位移、速度、加速度进行比较。

表1 3种土壤的相关参数Table 1 Properties of three soils

从图5可以看出，不同土壤有不同的声阻抗，声阻抗越大结构在土中的位移越大，结构速度达到最大值的时间越短。而声阻抗对加速度影响更为明显，加速度在荷载作用的瞬间即达到最大值，然后随着时间的推移，加速度逐渐减小。可以得出，在结构承受荷载时，当结构所在的土体声阻抗越小，对结构造成的影响越小。

3.2 比例爆距对结构动力响应的影响

在计算时，比例爆距选择的范围为0.5～3.0 m/kg1/3，爆炸计算模型取远场爆炸进行研究。不同比例爆距下结构动力响应最大值如图6所示。从图6可以得出，土体声阻抗越大，结构在各比例爆距下的位移、速度、加速度均增大；且随着比例爆距的增大，结构响应在减小。当比例爆距值为3.0 m/kg1/3时，结构上的最大动力响应趋于零，呈收敛趋势。

4 结 论

(1)当爆点位于不同位置时，荷载作用范围也会发生变化，导致不同的结构动力响应。

(2)随着衰减系数的减小，结构表面自由场荷载的分布趋于平缓，局部荷载效应减弱，且最大值作用点对应的位置为起爆点的法线方向。

(3)随着偏移距离的增大，荷载与位移的各分布曲线的峰值点也随之偏移，且随着距离的增大，峰值逐渐降低，分布范围增加，局部效应减弱，对结构的损伤也在衰减。

(4)声阻抗与结构动力响应呈正比，比例爆距与结构动力响应呈反比；因此防护结构周围应选择在声阻抗较小的介质中构筑。

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