胡建林

最近分别参与了两次活动：绍兴市数学中考复习研讨会和舟山市定海区数学中考复习研讨会，并在绍兴市中考复习研讨会上就“关注学生学习，提高复习效率”的主题与同行进行了讨论，在舟山市定海区中考复习研讨会上展示了一堂相似三角形的复习课.两次活动的参与，让我对中考复习有了新的体会和感悟，本文以相似三角形一种基本图形的复习课为例，用“相似三角形对应高线长之比等于相似比”这样的“逻辑连贯”数学问题为一节课的主线进行复习，旨在说明教师可以通过“逻辑连贯”问题，如一个常用定理，一个基本图形，一种常规方法等，貫穿数学复习课堂，使学生上一堂课精一类题，在理解知识点的同时综合运用各种思想方法解决问题，也借此抛砖引玉，与大家探索提高中考复习效率的有效方法.

一、复习课堂现状

在中考复习中，往往存在这样一些比较普遍的现象，一是一轮基础知识复习后，教师往往以整节课的题目讲解代替了复习课，使复习课十分单调乏味；二是复习课时觉得这个也重要那个也重要，于是不肯放弃任何问题，不看考纲，不分难易，不论主次，什么都讲，什么都要求学生掌握，表面看面面俱到，十分华丽，但实质是没有突出重点，而由此产生的结果往往是西瓜芝麻一起丢，一堂课下来学生听得累，教师讲得也累，收到的效果自然也不是特别好.

二、“逻辑连贯”教学思考

首先，在日常教学中发现“相似三角形对应高线长之比等于相似比”这个性质教材中也不是以黑体字的形式出现，而且学生用得少，也就慢慢忽视了这一性质的存在.但各地中考试题中出现用这一性质解决问题的题目还是比较多的，是一个容易忽略的问题.因此，怎样对此性质进行复习，并由问题解决的过程中，启迪学生思考，领悟分析、思考和解决问题的方法是教师需要解决的一个问题.

其次，因性质小，可以考虑直接给学生这一性质，让学生在证明这一性质的过程中重新认识，做好知识上和思想上的准备，它起着承上启下的作用，教学中应突出这一点.

第一，承上.应引导学生重新认识抽象的“基本图形”.第二，启下.应关注例题的教学，即将简单的“基本图形”与下面例题“较复杂的图形”建立起关联性整合.使学生在课堂学习中深刻感受到如何发现问题、分析问题、解决问题的整个过程，理解和认识知识发生和发展的必然的因果关系.体现了教师用书上对“理解”的阐述：能描述对象的特征及由来；能明确阐述此对象和有关对象之间的联系，从学生思维发展水平的角度出发，从数学内容的发生发展过程的角度出发，达成“过程性目标”.

再次，“由小及大”，基于学生，把握问题设计的主线.在温习好性质后，充分利用变式教学，创设一个个蕴含着活动性的问题，由问题情境构建模型，从一个正方形到n个正方形再到矩形甚至三角形.这样，以一个图形为基础，教师引导剖析了各题型，学生经历了一系列有梯度、有思维含量、有数学思想的变式题，学生就能从“相似三角形对应高线长之比等于相似比”这个逻辑连贯的数学问题完成“性质”的数学本质刻画；同时，在学生心中埋下了思维的种子，一旦今后遇到类似问题，这粒种子也许就能生根发芽.

三、“逻辑连贯”教学展示

基于以上的教学思考，给学生提供丰富的形象素材，从“表象”到“本质”，构筑起表象与数学本质的桥梁，从而提供一个抓住本质并对本质有准确理解的思维过程，促进学生在抽象的过程中充分理解高度抽象的“性质”.因此，教学以“性质重温”为基础，辅之以“变式问题驱动”.通过类比分析，将归纳方法与严密思考相结合，直观与抽象相结合，促使学生思维呈一个清晰的“螺旋上升”过程.

可构建如下框架：性质重温，提出问题→变式引导，类比分析→承上启下，运用性质→中考链接，性质再应用.

（一）性质重温，提出问题

相似三角形对应高线长之比等于相似比，常见情形如图1所示，△ABC中，DE∥BC，AM⊥BC交DE于点N，则DEBC=ANAM.

（二）变式引导，类比分析

如图2所示，在△ABC中，D，E分别在AC，BC上，DE∥AB.过D，C，E分别向AB作垂线，垂足分别为F，H，G，CH交DE于P，已知CH=6，AB=12.

1.正方形问题：

变式（1）：如图3所示，若四边形DFGE是正方形，求正方形的边长.

变式（2）：如图4所示，若四边形DFGE是并排的两个相等的正方形，求正方形的边长.

变式（3）：如图5所示，若四边形DFGE是并排的n个相等的正方形，求正方形的边长.

练习：如图6所示，已知M是线段AB上一点，若△MDE是等腰直角三角形，求DE的长.

设计意图：这个练习是对以上正方形问题的巩固提高，其实质就是以上变式（1）（2）两种情况，同时，解决这个问题要进行分类讨论，把问题转化为正方形的情况，融多种数学思想于一体，有较丰富的思维含量.

2.矩形问题：

变式（1）：如图7所示，矩形DFGE的最大面积为多少？

变式（2）：如图8所示，已知M是线段AB上一点，则△MDE最大面积为多少？

设计意图：由正方形问题过渡到矩形问题，旨在培养学生知识的迁移能力，从中也体现了从特殊到一般的数学思想，解决问题时，还需要建立面积关于边长的二次函数模型，从而发现变化情况，求出面积的最大值，从中可以培养学生的建模能力.

（三）承上启下，运用性质

折叠问题：

变式（1）：如图9所示，在DE的下方，作以DE为边长的正方形，设DE=x，正方形与△ABC的重叠面积为y，求y与x的函数表达式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

变式（2）：如图10所示，将△CDE沿DE折叠，使△CDE落在四边形ABED所在平面，设点C落在平面的点为M，DE的长为x，△MDE与四边形ABED重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？

设计意图：折叠问题使复习的梯度再次得以提升，思维含量大大提高，能培养学生的分类讨论的能力，能锻炼学生如何把问题转化为已学内容或者已解决的内容的能力，即转化的数学思想.

（四）中考链接，性质再应用

中考链接（2013年绍兴中考22题）：

若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形.如图11所示，矩形ABCD中，BC=2AB，則称ABCD为方形.

（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）；

（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连接两边对应的等分点，以这些连接线为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图12所示.

① 若BC=25，BC边上的高为20，判断以B4C4为一边的矩形是不是方形？为什么？

② 若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比.

设计意图：展示中考题，是这一性质在中考运用中的生动体现，激起学生研究这一问题的动力和信心，同时，中考题的解决，使这一性质的运用再次得到巩固.

四、“逻辑连贯”教学亮点

本课教学能根据数学新课标的基本理念，精心设计教学环节，采用启发式教学能引导学生分析、思考、探索、理解和掌握相似三角形的性质，同时充分利用多媒体教学手段，调动学生多种感官参与学习，让学生在变式中运用所学知识，体现了复习课的知识习题化，习题层次化.

（一）习题引路，有理有利

在知识梳理中，采用“一步到位”的策略给出本节课所要复习的知识（相似三角形的性质、基本图形“A字图”），切实做到知识习题化、知识问题化.教师从熟悉的问题出发，并借助问题串的形式，让学生在解题中不仅回顾了要复习的知识，而且强化了对基本图形和基本方法的认识，对综合性例题的学习很有帮助作用，通过这样的教学设计，既有理又有利.

（二）习题变式，层层推进

在变式引导，类比分析教学过程中，采用“小步走”的策略.先通过较简单的例题入手，引导学生利用相似判定及性质求正方形、矩形的边长.随后，设计层层递进的问题，通过逐步增加或改变一些条件，一步一步地引导学生深入分析问题和解决问题.学生在不同条件下寻求解决问题的方法，不仅有效巩固了相似三角形性质的应用，而且明确了此类题的解题思路：两个三角形相似，对应边上的高之比等于底边之比.同时，引导学生整理，归纳“基本图形”，强化对基本图形和基本方法的认识.为承上启下，运用性质的教学过程打下坚实的基础；设计的变式习题，不仅揭示了解决几何问题的基本方法，更是丰富了学生的思维空间，提高了学生的思维灵活性，促使学生的推理能力进一步得到深化和提高.

（三）基于学生，提高效率

本节课复习由一个“逻辑连贯”问题入手，涉及的知识点较多，题目设计的数量大.但是，通过导学案和课件进行演示，使本节课有充足的时间让学生进行思考和参与数学学习活动，同时也有足够的时间进行师生互动.从真实的课堂学习活动中，可以看到学生在分析问题、解决问题和归纳总结中时间充足、思考充分、解题过程规范有序；与此同时，教师有更多的时间参与学生的学习活动，能更加深入了解学生的学习情况和学习效果，能更有效把控学生学习目标的达成度，更体现了复习的效率.

五、结束语

在逻辑连贯上做大文章，讲透做足.不妨做一些这样的整理、归纳，教学中确定一个逻辑连贯，以此为主线，整理相关题型，并通过变式辅助教学；复习无定法，与其追求“大而全”的大包围形式，不如寻求“小而精”的格局，前者力争面面俱到，可惜平均化而无重点，或泛泛之谈，怎给人留下印象？后者可能不全面，但胜在有取舍有重心，可以谈得深说得透，使学生在上完一堂复习课后扎实掌握了一个定理的深入运用，熟练掌握了一种方法的巧妙运用，深入理解了一个图形的本质特征，使中考复习重点突出，难点突破，亮点不断，记忆犹新.

【参考文献】

[1]教育部.数学课程标准（实验）[M].北京：北京师范大学出版社，2001.

[2]涂荣豹.谈提高对数学教学的认识[J].中学数学教学参考（高中），2006（1-2）：4-8.

[3]徐晓红.问题设计应基于理解[J].中学数学教学参考（中旬），2011（1）：25-27.