孙文淼

随着课程改革进程的不断推进，人们的观念从只关注成绩逐步转向关注学生素质的发展.如何将核心素养的培养落实到平时的课堂中来，如何在潜移默化中提升学生核心素养，是当前最值得我们教师思考的问题.有专家指出，素养的形成，不是依赖单纯的课堂教学，而是依赖学生参与其中的数学活动；不是依赖记忆与理解，而是依赖感悟与思维.它应该是日积月累的.因此，基于核心素养的教学，要求教师要抓住知识的本质，创设合适的教学情境，启发学生思考，让学生在掌握所学知识技能的同时，感悟知识的本质，积累思维和实践的经验，形成和发展核心素养.下面以“双曲线及其标准方程”新授课的教学为例，阐述笔者的思考.

一、课前准备

学生在网上平台填写思维导学任务单，教师对学生填写的内容在课前先查看，并对上课内容做出相应调整.

（一）知识回顾篇

1.椭圆定义；2.椭圆定义满足的等量关系；3.椭圆定义中的关键词；4.大胆尝试修改关键词.

（二）知识拓展篇

观看教师提供的相应数学拓展知识文章及视频：卡西尼卵形线、阿波罗尼斯圆……学生对感兴趣的内容可以进一步再找相关资料上传至平台，互相交流.

设计意图：在科技飞速发展的今天，“互联网+”的新时代，学生在网上能获取的知识数不胜数.为了体现学生的主体地位，真正实现高效课堂，设计思维导学单作为学生课前自主学习、合作学习的内容.利用大数据引导学生了解更丰富的数学世界，给学生思维更大的空间，为学生思维品质的培养提供技术支持.

二、温故知新

教师展示课前学生网上填写的内容：回顾椭圆定义，椭圆定义满足的等量关系，椭圆定义中的关键词，并将关键词板书在黑板上.

设计意图：将椭圆知识的回顾作为双曲线整堂课的引入，既复习了之前学习的知识，也体现知识与知识间的联系，让学生已有知识继续生长，潜移默化中帮助学生建立知识体系.

三、思维碰撞

活动1：请大胆尝试修改关键词.

设计意图：提出一个问题往往比解决一个问题更重要，将探索的主动权教给学生，激起学生的兴趣.

活动2：教师利用几何画板展示“距离之积为定值”的卡西尼卵形线；“距离之商为定值”的阿波罗尼斯圆；空间中“距离之和为定值”的几种可能性——有双叶双曲线、椭球面等.

设计意图：

1.卡西尼卵形线在动态过程中形状不断变化，会引起学生强烈的好奇心及探索欲望，同时也体会到数学之美.

2.阿波罗尼斯圆之前学生略有涉及，引起了他们的回忆，进一步加深对其的理解.

3.空间中的双叶双曲线、椭球面，向学生展示了数学更为广阔的领域.

4.在几何画板的展示中培养学生直观想象的能力，学会用数学的眼光观察世界.

四、实验探究

活动3：挑选“距离之差”来深入探究，观察这时是怎样奇妙的几何图形.

1.取一条拉链，拉开它的一部分；2.在拉开的两边各选择一点，分别固定在F1，F2上；3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢画出一条曲线；4.改变拉链的左右位置.

各小组学生自主动手操作，教师请一组学生上黑板展示.

设计意图：给学生自己动手操作的机会，在实践中培养推理能力.

活动4：教师按步骤播放flash动画，模拟拉链实验.实验结束后，教师让学生仿照椭圆的定义，再根据黑板上这些关键词，简单描述双曲线的定义.

设计意图：通过层层深入的活动，引领学生逐步接近本质，探索出双曲线的初步定义.

五、拓展思考

问题1：大家觉得0<2a

问题2：① 如果2a=0，动点M的轨迹是什么？② 如果2a=F1F2，动点M的轨迹是什么？③ 如果2a>F1F2，动点M的轨迹是什么？

问题3：请提炼出双曲线的精确定义.

设计意图：教之目的在于学，学之目的在于思，利用问题启发学生思考，帮助学生完善概念，抓住核心，学会用数学思维分析世界.

六、推理论证

问题4：请回顾推导椭圆标准方程的过程.并仿照椭圆的步骤，推导出双曲线的标准方程.

教师提示步骤：建系—设坐标—列等式—代坐标—化简，学生利用5～10分钟自主完成推导.然后教师投影学生推导的过程，并在关键点处着重强调.

设计意图：学生运算能力的提升在于平时的训练，以及教师是否愿意在课堂上提供机会与时间，教师要给予学生充分的信任.课堂上这样的“留白”是值得的，也是必要的.

七、例题讲解

例1 判断下列方程是否为双曲线标准方程，如果是，请写出焦点坐标.

（1）x24-y22=1；（2）x24-y22=-1；（3）x24-y22=1.

设计意图：

1.通过简单的例题，讓学生辨别双曲线标准方程的基本形式，加深对双曲线标准方程的理解.

2.总结判断焦点位置的方法：化为标准方程后，x2，y2前的系数哪个为正，焦点就在相应坐标轴上.

例2 已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2（5，0），双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

变式1：若把例2中的绝对值去掉，则点P的轨迹是什么？

变式2：若把例2中的6改为10，则点P的轨迹是什么？

设计意图：

1.通过求解，总结求解双曲线标准方程的方法和策略.

2.通过变式进一步理解定义中0<2a<2c=|F1F2|的条件.

例3 思考题：mx2+（2-m）y2=1表示曲线的形状变化.

设计意图：通过这道题的升华，提高习题质量.同时，复习之前学过的椭圆及圆的内容，进一步巩固方程的结构特征.

八、归纳总结

问题5：通过今天的学习，你有哪些收获？从知识的角度和思想方法层面来总结.

我们还能从数学美的角度再来回顾整节课，双曲线方程的对称美、简洁美……最后我们来欣赏几幅优美的图片来感受双曲线带给我们的视觉震撼！

反思：这堂课也引起了我的进一步思考，在“互联网+”时代，创新的课堂是我们的不懈追求.教师必须抛弃通过不断重复讲解，迫使学生记住信息的教学模式，避免对知识的囫囵吞枣和一知半解.康托尔说过：“数学的本质在于它的自由.”教师应该给予学生充分的时间用于思考与理解、探索与实践.问渠哪得清如许，为有源头活水来.只要让思维的火花在课堂闪耀，数学知识的生命力才能不断保持，核心素养才有生长的养分！