吕 中，张永辉

（中建西部建设西南有限公司，四川 成都 610040）

0 引 言

跳频多址扩频系统由于它的抗干扰性、安全性、多址性，被广泛应用于蓝牙、军事电台通信、移动通信、现代雷达和声纳回声定位系统等[1]。在这些系统中，跳频扩频通信技术[2]通过载波率持续不同的跳变，最终保障频谱展宽。利用伪随机码实现对信号载波频率的操作，在规划范围中顺利进行运作，实现合成器频率始终保持着变化。由于伪随机码可以使接收器得到良好的控制，使得接收端与发射端在变化规律上具有同步性。此外，伪随机序列在跳频系统中不主要用于信道选择，并不会以直接的形式进行传输。基于它的工作原理，伪随机码有了一个全新的代名词，即跳频序列，又名调跳频码。通常情况下，在码分多址环境中，总是希望保持发射机之间的相互干扰在尽可能低的水平[3-4]。当两个或多个发射机同时在同一频率上传输时，易发生相互干扰，而相互干扰的程度和跳频序列的汉明相关性紧密相连。从这一点可以看出，对于跳频技术的研究，首要是能够设计出具备汉明特性的跳频序列。

2003年，Ye等人[5-6]首次提出LHZ/NHZ跳频序列的概念。低碰撞区跳频序列是一种具有特殊性质的跳频序列，系统对多址干扰抗性的能力，很大程度上取决于临近零时延序列的汉明性能[7-9]。

本文主要研究低碰撞区跳频序列的设计，剩余部分组织如下：第2部分，给出关于跳频序列的一些预备知识；第3部分，介绍交织序列理论；第4部分，构造一类具有新参数的最优低碰撞区跳频序列集；第5部分是对本文的总结。

1 预备知识

首先给出跳频序列汉明相关函数的定义。将F={ f0,f1,…, fq-1}作为频隙集，其大小设定成q，N的跳频序列组成的集合根据F上M个长度S来代表。

定义1：设频隙集F={ f0, f1,…, fq-1}，x={x0, x1,…, xN-1}，y={y0, y1,…, yN-1}，（xi, yi∈ F,i=0,1,…,N-1）为频隙集F上两个长度为N的跳频序列，x和y在相对时延τ的周期汉明互相关函数为：

式中，i+τ按模 N 运算。当x=y时，H(x y·,τ)称为周期汉明自相关函数；当x≠y时，H(x y·,τ)被叫做周期汉明互相关函数。

跳频序列集S为已知的前提下，序列集的三个最大周期的汉明自相关Ha(S)、Hc(S)以及Hm(S)的定义如下：

Ha(S)=max{H(x x·,τ)|x ∈ S,0 ＜ τ＜ N}

Hc(S)=max{H(x y·,τ)|x,y∈ S, x≠ y,0 ≤ τ＜ N}

Hm(S)=max{Ha(S),Hc(S)}

为了简化和方便，令Ha=Ha(S)，Hc=Hc(S)，Hm=Hm(S)。

跳频序列集的最大周期汉明相关值的下界于2004年被建立[10]。

引理1（Peng-Fan界）：令F是一个大小为q的频隙集，S为F上M个长度为N的跳频序列构成的集合，有：

对于任意跳频序列集S，令整数Ha≥0，Hc≥0，F作为频隙集，其大小设定成q，S是F上M个长度为N的低碰撞区跳频序列构成的集合。如此，LH、LAH、LCH的定义如下：

如果Ha=Hc=0时，S的低碰撞区称为S的无碰撞区NH。S作为一个具备LH≥0或NH≥0的跳频序列集，被叫做无碰撞区跳频序列集，代表涉及周期汉明相关的低碰撞区跳频序列集。以Peng为代表[11]的研究学者，于2004年对LHZ跳频序列集的周期汉明相关理论界进行了推导。

引理2（Peng-Fan-Lee界）：令F是一个大小为q的频隙集，F上M个长度为N的跳频序列构成的集合代表S，序列集S关于周期汉明相关函数的低碰撞区代表LH。所有整数Z，0≤Z≤LH，有：

2 交织序列理论

交织序列理论在1995年由Gong首先提出[12]，本节将对交织理论进行简单介绍。

设a=(a0,a1,…,aN-1)是一个F上频隙集大小为q、长度为N、最大汉明自相关值为Ha的跳频序列。设e=(e0,e1,…,eT-1)是ZN上的移位序列，其长度为T。则由序列a与移位序列e能够组成N×T的矩阵U：

这里，按模N运算下标。按行间顺序读出矩阵U中的元素，能够获得周期为NT的序列u=(u0,u1,…,uNT-1)。此时a可叫做基序列，u又叫做交织序列，而e则叫做移位序列。序列u的矩阵表示为矩阵U。优化后将u=I(Le0(a),Le1(a),…,LeT-I(a))表示为交织序列u，其中I表示交织操作。

令g=(g0,g1,…,gT-1)为ZN上长度为T的移位序列，可生成交织序列：

v=I(Lg0(a),Lg1(a),…,LgT-I(a)) （5）

对于时延 τ=Tτ1+τ2(0 ≤ τ1＜ N,0 ≤ τ2＜ T)，序列 v的移位Lτ(v)的矩阵表示为：

显然，Lτ(v)是另外一个交织序列，可以表示为：

交织序v与u处于时延τ时的汉明相关函数，根据式（4）和式（6）中列序列内积的和的计算可以得出：

3 最优低碰撞区跳频序列集的构造

将基于上述交织技术构造新的最优LHZ FHS集。设F={ f0, f1,…, fq-1}是一个大小为q的频隙集，其序列集构造如下。

构造1：低碰撞区跳频序列集的一般化构造

步骤1：选取F上频隙集大小为q的l个长度为N、最大汉明相关值为Hm的跳频序列构成的集合A=(N,q,l,Hm)：

步骤2：对于给定的T，令M为正整数，满足gcd(N,T)=1，生成移位序列集H={E,G}，有：

步骤3：构造低碰撞区跳频序列集S={SA,SB}。

①由基序列集A={ai=(ai0,ai1,…,)|0≤i＜l}和移位序列集E进行交织，得到LHZ FHS集SA={|0≤x＜Ml}，其中x=iM+j(0≤i＜l,0≤j＜M)。对于任意的0≤x＜Ml，有：

②通过序列集A得到基序列B={a0,a1,…,al-1},由该基序列B和移位序列集G进行交织，得到LHZ FHS集SB=|0≤y＜M(T-2l+1)}，其中0≤k＜M(T-2l+1)且k∈Z，对于任意的0≤k＜M(T-2l+1)，有：

下面给出最优低碰撞区跳频序列集的具体构造。

构造2：最优低碰撞区跳频序列集的构造

步骤1：选择一个在F={ f0, f1,…, fq-1}上的最优跳频序列集A=(N,q,l,Hm)：

步骤2：令M、w和T为三个正整数，且满足：

构造移位序列集H={E,G}，有：

其中2l-2＜r＜T且r∈Z。

步骤3：构造最优低碰撞区跳频序列集S={SA,SB}。①由基序列集A和移位序列集E进行交织，得到LHZ FHS集SA={|0≤ x＜ Ml}：

其中 x=iM+j(0≤i＜ l,0≤ j＜ M)。

②由基序列B和移位序列集G进行交织，得到LHZ FHS集SB={|0≤ y＜ M(T-2l+1)}：

其中0≤j＜M，2l≤T，2l-2＜r＜T且r∈Z。

定理1：在构造2中，如果参数满足：

（1）T=λw+1,λ≥ 0,T≥ 2l,w ＞ l

则生成的跳频序列集S是一个最优的(lN,q(T-l+1)M,l-1;lHm)低碰撞区跳频序列集。

证明：首先证明跳频序列的低碰撞区。

与参考文献[9]中定理2的证明类似，可以得出，当T=λw+1,λ≥0时，由基序列集A与移位序列集E进行交织构造的低碰撞区跳频序列集SA的低碰撞区=w-1。

与参考文献[9]中定理1的证明类似，可以得出由基序列B与移位序列集G进行交织构造的低碰撞区跳频序列集SB的低碰撞区LBH=wl-1。

由此容易得出：低碰撞区跳频序列集SA和SB之间的低碰撞区LABH=l-1。

综上所述，可以得出上述低碰撞区跳频序列集的低碰撞区为：

构造2中的跳频序列集参数如下：序列长度为lN，序列个数为(T-l+1)M，频隙集F的大小为q。令Z=LH，根据Peng-Fan-Lee界[11]，跳频序列集S的最大汉明相关应为：

由于最优跳频序列集A满足Peng-Fan界[10]，于是可以得出：

可以看出，在Peng-Fan-Lee界的要求内容上，低碰撞区跳频序列集S的最大汉明相关均可以满足。因此，最优的低碰撞区跳频序列集完全可以以序列集S作为定义。证明结束。

例1：

步骤1：选择一个最优的（16，7，3，2）跳频序列集A={a0,a1,a2}，其中：

步骤2：选择s=1，T=8，w=8，则有M=N/w=2。

生成移位序列集H={E,G}的矩阵表示为：

H=[E G] （27）

步骤3：根据构造2的方法构造低碰撞区跳频序列集：

跳频序列集S的最大汉明自相关和最大汉明互相关，通过计算完全可以得出结果，见图1。

图1 例1中序列集S的最大汉明相关

通过简单的证明可以得出，任意两个跳频序列的汉明互相值关不一定总是相同，但对于跳频序列集S来说，即取其最大值。同理，汉明自相关值不一定总是相同，但对于跳频序列集S来说就取其最大值。当τ＜3时序列集的最大汉明相关Hm=6。因此，S是最优的（48，7，12，2；6）低碰撞区跳频序列集。

4 结 论

基于交织技术构造了一类具有新参数的最优LHZ FHS集。通过选择一些已知的最优FHS集，然后在满足特定条件下可以构造出最优的低碰撞区FHS。通过使用不同的移位序列，可以构造出参数设置更灵活的低碰撞区FHS集。该FHS集可以应用到准同步的跳时/跳频码分多址系统中，用于消除多址干扰。

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