几类张量空间的乘积基的结构
2018-04-20唐西林刘燕娜
唐西林，刘燕娜
（华南理工大学数学学院，广东广州510640）
由于相互无偏基在量子通信中起着重要作用，因此引起了人们对相互无偏基的关注。已知复向量空间Cd的相互无偏基个数小于等于d+1，当d为素数的方幂时，相互无偏基的个数可取得最大值［1］。然而，当d≥6且d为合数时，上界是否可以取得仍然是一个公开问题。特别地，当维数为6时，尚不清楚是否有超过3个相互无偏基，但这3个相互无偏基都是二体系统的乘积基的形式。基于这一情况,很多研究者开始研究相互无偏乘积基［2-4］。2012年，Mcnulty等［3］讨论了d=4，6的所有乘积基，且提出了局部等价变换的定义。2016年，Mcnulty等［2］提出了关于二体系统的乘积基的结构猜想。2017年，笔者刻画了d=2n 的乘积基的结构［5］。
猜想 1［2］集合是空间 d1⊗d2的一组正交乘积基，当且仅当，|ai〉∈Cd1（i=1，2，…，d）这d个向量和|bi〉∈Cd2（i=1，2，…，d）这d个向量分别被拆分为Cd1的d2组正交基和Cd2的d1组正交基。
定义1［6］如果B中的每一个元素都是纯乘积向量，那么复向量空间的一个正交基B称为乘积基，其中 d=d1d2…dm。
1 m⊗n的乘积基的结构
引理1空间3⊗3的任意正交乘积基等价于以下族的其中一个
（1）当|a1〉重数为3，B中第1个系统的态与|a1〉正交的态的个数小于等于5时，乘积基B=在|bi〉，i=4，5，…，9 中，总能找到一个态|bi〉需要与 C3的正交基正交，矛盾。因此当|a1〉重数为3时，只需要考虑B中第 1 个系统的态与|a1〉正交的态的个数等于 6 的情况。令i=5，6，…，9。
考虑|ai〉，i=5，6，…，9与|a1⊥〉正交的个数，当正交的个数为4或5时，至少有4个态相等，因此乘积基不存在。
当|ai〉，i=5，6，…，9 与|a1⊥〉正交的个数为 3 时，分析可以得到以下乘积基
当|ai〉，i=5，6，…，9 与|a1⊥〉正交的个数为 2 时，只有当|ai〉，i=7，8，9 与|a1⊥⊥〉正交的个数为 1时，存在以下正交乘积基
当|ai〉，i=5，6，…，9 与|a1⊥〉正交的个数为 1 时，|ai〉，i=6，7，8，9 与|a1⊥⊥〉都不正交时，考虑|ai〉，i=，7，8，9 与|a6〉的正交关系，当〈ai|a6〉≠0，i=7，8，〈a9|a6〉=0 时，乘积基为
其中，|ai〉=αi-1|a1⊥〉+βi-1|a1⊥⊥〉，|ai⊥〉=βi-1|a1⊥〉-αi-1|a1⊥⊥〉，αi-12+βi-12=1，i=2，3。当〈a7|a6〉≠0，〈ai|a6〉=0，i=8，9 时，乘积基存在为中总能找到至少 4 个态|bi〉相等，这与C3中的态至多有3个相同矛盾。因此当|a1〉重数为2时，只需要考虑B中第1个系统的态与|a1〉正交的态的个数等于4至6个的情况。
当|a1〉重数为2时，考虑B中第1个系统的态与|a1〉正交的态的个数等于4的情况，由〈bi|b1〉=〈bi|b1⊥〉=0，i=7，8，9 得|bi〉=|b1⊥⊥〉，i=7，8，9，则
当|ai〉，i=5，6，…，9 与|a1⊥〉正交的个数为 0 时，不存在正交乘积基。
（2）当|a1〉重数为2，B中第1个系统的态与|a1〉正交的态的个数等于2或者3时，乘积基B=
βi-2|b1⊥〉，αi-22+βi-22=1，i=3，4，5，6。
②若〈ai|a1⊥〉≠0，i=4，5，〈a6|a1⊥〉=0，则0时，乘积基不存在。当〈b4|b6〉=0时，乘积基为
④若〈ai|a1⊥〉=0，i=4，5，6，此时正交乘积基不存在。
当|a1〉重数为2，B中第1个系统的态与|a1〉正交的态的个数等于5时,满足条件的正交乘积基有
当|a1〉重数为 2，B 中第 1 个系统的态与|a1〉正交的态的个数等于 6 时，由〈b9|b1〉=〈b9|b1⊥〉=0 得|b9〉=|b1⊥⊥〉。令|a3〉=|a1⊥〉，当|ai〉，i=4，5，…，8 与|a1⊥〉正交的个数大于等于 0 时都不能组成乘积基。
（3）当|a1〉重数为1，B中第1个系统的态与|a1〉正交的态的个数等于2或者3时，表明B中第2个系统的态与|b1〉正交的态的个数为6或5，由于空间3⊗3是对称的，因此只需要对乘积基调换第1个系统与第2个系统的态即可，因此不需要讨论。
当|a1〉重数为1，B中第1个系统的态与|a1〉正交的态的个数等于4时，满足条件的正交乘积基有
当|a1〉重数为1，B中第1个系统的态与|a1〉正交的态的个数等于5或6时，不存在正交乘积基。
2 多体系统的乘积基的结构
由于二体系统2⊗n的乘积基中，第1个系统的态及第2个系统的态分别可以被拆分为C2的n组正交基和Cn的2组正交基。对于Cn这一子系统，如果n可以拆分成2×m的形式，也就是说，考虑系统2⊗n等价于考虑系统2⊗2⊗m。如果已知2⊗m的所有乘积基，那么可以构造2⊗n的所有乘积基。下面以2⊗2⊗2为例进行说明。我们猜想这种方法可以推广到空间2⊗k⊗3⊗l。
其中A（ci）=｛|aj，bj〉||ci〉⊗|aj〉⊗|bj〉∈B，j=1，2，…，4n｝，A（ci⊥）=｛|aj，bj〉||ci⊥〉⊗|aj〉⊗|bj〉∈B，j=1，2，…，4n｝。
根据上面的分析，只需要考虑r=4，3，2，1这4种情况。
情形 1 若 r=4，则乘积基为 C=｛|ci〉⊗ Ai，|ci⊥⊗ Di|i=1，2，3，4｝，且｛Ai|i=1，2，3，4｝及｛Di|i=1，2，3，4｝都为 2⊗2 的乘积基，又因为 2⊗2 的所有乘积基必须为以下 B0，B1，B2的形式［3］
情形 2 若 r=3，则乘积基为 C=｛|ci〉⊗ Ai，|ci⊥〉⊗Di|i=1，2，3｝，且｛Ai|i=1，2，3｝及｛Di|i=1，2，3｝都为2⊗2的乘积基。
情形 3 若 r=2，则乘积基为 C=｛|ci〉⊗Ai，|ci⊥〉⊗ Di|i=1，2｝，且｛Ai|i=1，2｝及｛Di|i=1，2｝都为 2⊗2的乘积基。
当｛Ai|i=1，2｝和｛Di|i=1，2｝这两组基相同时，2⊗2⊗2的乘积基分别为
当｛Ai|i=1，2｝和｛Di|i=1，2｝这两组基不相同时，有 4 种情况可以组成乘积基。当 i=1，2，Ai只包含一个元素，而Di包含3个元素时，B0，B1，B2这三组基中任取两个都可以构造出乘积基；当i=1，2，Ai和Di都包含2个元素时，只有当｛Ai|i=1，2｝=B1,｛Di|i=1，2｝=B2时可以构造出乘积基，其他情形都不能构造出乘积基。因此这种情况下，2⊗2⊗2的乘积基有
情形 4 若 r=1，则乘积基为 C=｛|c1〉⊗A1，|c1⊥〉⊗ D1｝，且 A1及 D1都为 2⊗2 的乘积基。
当A1和D1这两组基相同时，2⊗2⊗2的乘积基分别为
当A1和D1这两组基不相同时，2⊗2⊗2的乘积基分别为
由上述分析可得，2⊗2⊗2的所有乘积基有C0，C1，…，C21这22种情形。
推论 3 令 B=｛|ci，ai，bi〉|i=1，2，…，8｝为复向量空间 2⊗2⊗2 的正交乘积基。则|ai〉（i=1，2，…，8）这8 个向量，|bi〉（i=1，2，…，8）这 8 个向量及|ci〉（i=1，2，…，8）这 8 个向量都可拆分为 C2的 4 组正交基。
通过对2⊗2⊗2的乘积基分析、计算，可得到2⊗2⊗3的乘积基包含65种情形，且得到以下结论：
推论 4 令 B=｛|ci，ai，bi〉|i=1，2，…，12｝为复向量空间 2⊗2⊗3 的正交乘积基。则|ai〉（i=1，2，…，12）这 12 个向量，|ci〉（i=1，2，…，12）这 12 个向量都可以拆分为 C2的 6 组正交基，|bi〉（i=1，2，…，12）这 12个向量可以拆分为C3的4组正交基。
由推论2及推论3，我们猜想对于空间2⊗k⊗3⊗l也有以下相应的结论：
猜想2 令B为复向量空间2⊗k⊗3⊗l的正交乘积基。则子系统C2的态都可以拆分为C2的2k-1×3l组正交基，子系统C3的态都可以拆分为C3的2k×3l-1组正交基。
参考文献：
［1］WOOTTERS WK,FIELDS B D.Optimal state-determination bymutually unbiased measurements［J］.Annals ofPhysics,1989,191（2）:363-381.
［2］MCNULTYD,PAMMER B,WEIGERTS.Mutuallyunbiased product bases for multiple qudits［J］.Journal ofMathematical Physics,2016,57（3）:1-11.
［3］MCNULTY D,WEIGERTS.All mutuallyunbiased product bases in dimension 6［J］.Journal ofPhysics A:Mathematical and Theoretical,2012,45（13）:1-22.
［4］WIENIAK M,PATEREK T,ZEILINGER A.Entanglement in mutually unbiased bases［J］.NewJournal of Physics,2011,13（5）:1-24.
［5］唐西林,刘燕娜,谷泽.C2⊗Cn的乘积基的结构［J］.佛山科学技术学院学报（自然科学版）,2017,35（1）:19-23.
［6］ALONN,LOVASZL.Unextendible product bases［J］.Journal ofCombinatorial Theory:Series A,2001,95（1）:169-179.
