赵　璇，　李宝根，　喻祖国

(湘潭大学 数学与计算科学学院，湖南 湘潭 411105 )

在传统的生物数学中，传染病模型有易感者-染病者-易感者 (SIS) 模型和易感者-染病者-恢复者 (SIR) 模型，研究的主要思想是 Kermack和Mckendrick在 1927 年提出的“仓室”模型[1].这些随机混合模型总是假设同质均匀混合，即人群中的所有个体相互接触的可能性是一样的，但这在现实中几乎是不存在的.近年来有很多研究去克服这种不足，其中一个努力的方向就是引入网络模型[2-9].许多的研究人员相继提出了一些相关模型，研究了疾病在特定网络上传播的统计和动力学特征，并给出了相应传染病的传播阈值R0[2-5]，即基本再生数.R0是指在传染病发病初期，在一个全部是易感者的人群中，进入一个染病者，在其病程内传染的平均人数.后来 Li 等人也多次研究了经典的易感者-潜伏者-染病者-恢复者 (SEIR)模型[6,10-11].而复杂网络上的 SEIR 模型却很少.2003年，Grabowski 与 Kosinski研究了分层结构的 SEIR 传染病模型[7].2006年，Gama 与 Nunes 研究了小世界网络上的 SEIR 传染病模型[8].2008年,Fu 等人[12]研究了无标度网络[13-15]上具有分段线性传染性及免疫的 SIS模型的传染病动力学.2012年,Zhu等人研究了复杂网络上具有非线性感染率的 SIS模型的全局吸引性[16].2014年,Li 等人研究了异质网络上 SEIR 模型的流行病动力学行为[17].2017年,Wang 等人研究了随机网络上基于边的 SEIR 模型的流行病动力学行为[18].最近,Yan等人给出了接触网络上基于边的 SIR模型的性病动力学研究[19].本文中我们基于节点研究了潜伏期患者不具备传染能力的易感者-潜伏者-染病者-易感者 (SEIS) 模型[20]与 SEIR 模型在无标度网络[13-15]和动态小世界网络[3]上的性质.

以下字母表示的含义除特殊说明外，全文通用：网络中的总节点数目N；易感者S，即未染病但有可能被传染的个体；潜伏者E，即已染病但不具有传染能力的个体；染病者I，即已染病并具有传染能力的个体；恢复者R，即未染病且具有免疫力的个体；感染率系数β，即易感者与染病者接触，被感染的比例；转移率系数α，即潜伏者成为染病者的比例；恢复率系数γ，即染病者恢复的比例；易感者比例s(t),e(t),i(t),r(t)，分别表示在t时刻易感者、潜伏者、感染者和恢复者节点数占总节点数的比例；F(t)，即t时刻墙域的个数.

1　无标度网络上的SEIS及SEIR模型

1.1　无标度网络上的SEIS模型

对于任意网络，在t时刻，S、E和I三类节点占度为k的节点数组中的比例分别为sk(t),ek(t),ik(t).考虑节点间度的差异，我们建立网络上的SEIS模型的微分方程为：

(1)

(2)

在无标度网络情况下，由于无标度网络具有很大的异质性，当N→时，会导致→，从而R0→.这与[21],[22]中发现在无标度网络上适当参数下不存在阈值的结果类似.由此可见，在无标度网络上，即使传染率β非常小，在SEIS模型下疾病也可以扩散(R0>1).

1.2　无标度网络上的SEIR模型

SEIR模型适用于感染个体被治愈获得免疫而不会再被感染，同时可以避免感染或者染病后死亡的情况.对任意网络，假设t时刻，S、E、I和R这四类节点占度为k的节点数组中比例分别为sk(t),ek(t),ik(t),rk(t)，且sk(t)+ek(t)+ik(t)+rk(t)=1.令Θ(t)=∑kP(k)ik(t)/k，可建立

(3)

αφ-γφ=0，1-∑kP(k)〈k〉-1e-β kφ-αφ=0,

式中φ由此可以得到将φ=0带入上式，等号显然成立，故φ=0是上述自相关方程的一个平凡解.令f(φ)=γ-1(1-∑kP(k)/〈k〉e-βkφ)，则0

在无标度网络情况下，由于无标度网络具有很大的异质性，当N→时，会导致〈k2〉→，从而R0→.故在无标度网络上，即使传染率β非常小，SEIR模型下疾病也可以扩散(R0>1).

2　动态小世界网络上的SEIS及SEIR模型

已有研究表明严重急性呼吸系统综合症(SARS)的传播(尤其是2003年在香港)表现出的特点具有典型的小世界特性[12].为了能更好地反映真实社交结构对流行病的影响，Saramäki和Kaski提出了动态小世界网络[3].(1) 从规则图开始：生成一个含N个节点的最近邻耦合网络.每个节点都与其最近邻的K个节点连边.(2) 长程随机加边：以概率p随机选取两个节点，并连接.其中节点不可以自成环，而且不同的两个节点之间只能有一条边.SARS疾病传播的特点就是将每一次的随机加边看作是人和人之间的一次远距离接触，即疾病的长程传播过程.

2.1　动态小世界网络上的SEIS模型

动态小世界网络上的SEIS的数学模型：最初，在模型中有I0个节点处于感染状态，则N-I0个节点处于易感状态，且满足I0≪N.t时刻，I(t)为I类节点的数目，E(t)为E类节点的数目.定义辅助变量F(t)=[SI][3]：表示t时刻一端顶点为S类节点、另一端顶点是I类节点的边的数目，即可能发生短程传播的边的数目.称F(t)为“墙域”的个数.借助F(t)，可得

(4)

在疾病传播早期阶段，假设N足够大，忽略两条墙域相遇的情形，那么墙域的变化分为两种情况.情形一： (1) 长程传播中(即[SIS])，感染节点感染其邻居节点后，感染邻居处于潜伏期状态E，造成墙域减少，即βpF(t)；感染节点未感染其邻居节点就恢复成易感状态，造成墙域减少，即 (1-β)γpF(t)，其中p为长程传播出现的概率. (2) 短程传播中(即[IIS])，感染节点感染其邻居节点后，感染邻居处于潜伏期状态E，造成墙域减少，即β(1-p)F(t).情形二：(1) 长程传播中(即[SIS])，潜伏期状态E变成感染状态I，造成墙域双倍增加，即增量为 2αpE；(2) 短程传播中(即[IIS])，潜伏期状态E变成感染状态I，造成墙域增加，即增量为α(1-p)E.综上得：

(5)

将(5)代入(4)得：

(6)

类似于[3]，通过对方程式(6)的特征根分析可以知道，疾病传播的阈值条件为β>γ/(1+γ).

2.2　动态小世界网络上的 SEIR 模型

类似前面动态小世界网络上 SEIS 模型的建立过程，在疾病传播早期阶段，假设N足够大，忽略两条墙域相遇的情形，那么墙域的变化分为以下两种情况.情形一：感染节点感染其邻居节点后，感染邻居处于潜伏期状态E，造成墙域减少，即βF(t)； 感染节点未感染其邻居节点就恢复成免疫状态，造成墙域减少，即 (1-β)γF(t).情形二： (1) 长程传播中(即[SIS])，潜伏期状态E变成感染状态I，造成墙域双倍增加，即增量为 2αpE； (2) 短程传播中(即[IIS])，潜伏期状态E变成感染状态I，造成墙域增加，即增量为α(1-p)E.综上并化简得：

(7)

类似于[3]，通过对上述方程特征根的分析可以知道，疾病传播的阈值条件为p>(1-β)γ/β.

3　结　论

[1]KERMARK M, MCKENDRICK A. Contributions to the mathematical theory of epidemics. Part I[C]//Proc R soc A， 1927, 115(5): 700-721.

[2]KUPERMAN M, ABRAMSON G. Small world effect in an epidemiological model[J]. Physical Review Letters, 2001, 86(13): 2909-2912.

[3]SARAMäKI J, KASKI K. Modelling development of epidemics with dynamic small-world networks[J]. Journal of Theoretical Biology, 2005, 234(3): 413-421.

[4]KLECZKOWSKI A, OLES K, GUDOWSKA-NOWAK E, et al. Searching for the most cost-effective strategy for controlling epidemics spreading on regular and small-world networks[J]. Journal of the Royal Society Interface, 2012，9(66):158-169.

[5]ZEKRI N, CLERC J P. Statistical and dynamical study of disease propagation in a small world network[J]. Physical Review E, 2001, 64(5): 056115.

[6]D’ONOFRIO A. Stability properties of pulse vaccination strategy in SEIR epidemic model[J]. Mathematical Biosciences, 2002, 179(1): 57-72.

[7]GRABOWSKI A, KOSIńSKI R A. Epidemic spreading in a hierarchical social network[J]. Physical Review E, 2004, 70(3): 031908.

[8]DA GAMA M M T, NUNES A. Epidemics in small world networks[J]. The European Physical Journal B-Condensed Matter and Complex Systems, 2006, 50(1-2): 205-208.

[9]PASTOR-SATORRAS R, VESPIGNANI A. Epidemics and immunization in scale-free networks[DB]. arXiv preprint cond-mat/0205260, 2002.

[10]LI M Y, MULDOWNEY J S. Global stability for the SEIR model in epidemiology[J]. Mathematical Biosciences, 1995, 125(2): 155-164.

[11]LI M Y, GRAEF J R, WANG L, et al. Global dynamics of a SEIR model with varying total population size[J]. Mathematical Biosciences, 1999, 160(2): 191-213.

[12]FU X, SMALL M, WALKER D M, et al. Epidemic dynamics on scale-free networks with piecewise linear infectivity and immunization[J]. Physical Review E, 2008, 77(3): 036113.

[13]SMALL M, TSE C K. Small world and scale free model of transmission of SARS[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2005, 15(05): 1745-1755.

[14]SMALL M, WALKER D M, TSE C K. Scale-free distribution of avian influenza outbreaks[J]. Physical Review Letters, 2007, 99(18): 188702.

[15]汪小帆, 李翔, 陈关荣. 复杂网络理论及其应用[M]. 北京：清华大学出版社, 2006.

[16]ZHU G, FU X, CHEN G. Global attractivity of a network-based epidemic SIS model with nonlinear infectivity[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012, 17(6): 2588-2594.

[17]LI C H, TSAI C C, YANG S Y. Analysis of epidemic spreading of an SIRS model in complex heterogeneous networks[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, 19(4): 1042-1054.

[18]WANG Y, CAO J, ALSAEDI A, et al. Edge-based SEIR dynamics with or without infectious force in latent period on random networks[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2017, 45: 35-54.

[19]YAN S, ZHANG Y, MA J, et al. An edge-based SIR model for sexually transmitted diseases on the contact network[J]. Journal of Theoretical Biology, 2018, 439: 216-225.

[20]ROBERT M.Epidemic modelling: an introduction[J]. Mathematical Gazette,1999,83(498):213-569.

[21]PASTOR-SATORRAS R, VESPIGNANI A. Epidemic spreading in scale-free networks[J]. Phys Rev Lett, 2001, 86: 3200-3203.

[22]LIU J, ZHANG T. Epidemic spreading of an SEIRS model in scale-free networks[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16(8):3375-3384.