杨雯雯

郑州外国语新枫杨学校 河南郑州 450001

数列一直以来都是高考的重点内容之一，其中，在数列知识体系中，等比数列的难度较大，其可通过不同类型的变式对高中数学的多个知识点进行全面考察，因此，我们高中生需要针对等比数列的题目加强锻炼。对于等比数列题目中关于前n项和的求解，其难度主要在两个方面，其一是对等比数列通项公式的求解；其二是如何根据已经求得的通项公式计算其前n项和[1]。

1 利用前n项和求解等比数列参数

在一些简单的等比数列题目中，其考察点多在于对等比数列前n项和公式的应用，为增加难度，则可以在给出前n项和的基础上，对等比数列中的参数进行讨论。

例1 正项等比数列{an}的通项公式 an=a1qn-1，其中，q∈（0，+∞），已知Sn=80，且其中的最大项为54，同时S2n=6560，求等比数列的通项公式。

解析：由题目我们可以得出，该题的重点在于对等比数列通项公式的应用，通过分别计算等比数列前n项和与前2n项和联立方程组，继而可以求出数列{an}的通项公式an=a1qn-1中的a1和q。

解：已知数列前n项和为80，前2n项和为6560，由此可以判定，q＞0且q≠1

根据等比数列前n项和公式，联立方程组可得：

由此可得：qn=81，即等比数列为单增等比数列，q＞1，所以，最大项应当为 an=a1qn-1=54。

得a1=q-1①

且 qn/(a1qn-1)=3/2，即 3a1=2q ②

由①、②可得数列的通项公式an=2*3n-1

2 基于等比数列前n项和公式的证明题型

与等比数列相关的证明题较少，在部分证明题中，解题关键在于对前n项公式能否掌握熟练，通过对n的放大，从而选择与之相适应的求证策略。

例2 对于等比数列{an}，其前n、2n、3n项和分别为 Sn、S2n、S3n，试证 Sn2+S2n2=Sn（S2n+S3n）。

解析：从已知条件我们可以看出，我们需要对等比数列{an}的前n、2n、3n项和之间的关系进行证明，如此必将使用到等比数列前n项和的计算公式，由于相关的解题步骤较为复杂，计算量较大，所以我们需要对其中的每一个步骤进行认真分析，从而避免失误[2]。

证明：根据等比数列前n项和的计算公式，设等比数列{an}的通项公式为an=aqn-1，则数列{an}的前n项和为Sn。

同时，数列{an} 的前2n项和S2n=Sn+a1qn+···+a1q2n-1=Sn+qn(a1+···+a1qn-1)

由此可以得出：S2n=Sn（qn+1）

所以，S3n=S2n+a1q2n+···+a1q3n-1=S2n+Snq2n=Sn（1+qn+q2n）

因为Sn2+S2n2=Sn2（2+2qn+q2n）；Sn（S2n+S3n）=Sn2（2+2qn+q2n）

即：Sn2+S2n2=Sn（S2n+S3n）。

然而，这里需要注意的是，在对S3n进行分析的过程中，很多同学会将其误认为S3n=S2n+S2nq2n，这是由于中间步骤省略所导致的，因此，对于等比数列前n项和公式的应用，我们需要尽量保证计算过程的完整性，以避免解题失误。

3 利用错位相减法求等比数列前n项和

错位相减法在等差数列前n项和的求解中的使用较为普遍，对于等比数列来说，该解题方法也能够在一定程度上降低题目的难度，提高解题效率。

例3已知数列{an}为等比数列，其中，关于数列{an}的前n项和 S_n满足以下函数：Sn=bn+r，且b∈[（0，1）∪（1，+∞） ]，当b=2时，数列{bn}的通项公式为bn=(n+1)/(4an)，求数列{bn}的前n项和。

解析：在解该题目时，首先需要计算出r的值，求出bn与an之间的关系；其次，利用已经给出的已知条件，联立方程，求出数列{bn}的前n项和。

解：由于关于数列{an}的前n项和Sn满足Sn=bn+r，且b∈[（0，1）∪（1，+∞）]

所以，当n=1时，存在S1=a1=b+r

当n≥2时，则根据等比数列前n项和公式可得：

an=Sn-Sn-1

=（b-1）bn-1

a1=(b-1)b0+（1+r），a2=S2-S1=(b-1)b，因为 a2/a1为非 0 常数，所以r=-1，且等比数列{an}的公比为b。

将b=2带入数列{an}的通项公式后可得：an=2n-1

bn=(n+1)/2n+1，n∈N*

由此可以得出数列{bn}的前n项和公式如下：

Sbn=3/22+4/23+···+(n+1)/2n+1①

方程两边同除以2，可得：

1/2Sbn=3/23+4/24+···+(n+1)/2n+2②

①-②得：

1/2Sbn=3/22+1/23+1/24+···+1/2n+1-(n+1)/2n+2

由此可得：Sbn=(3×2n-1-2（n+3）)/2。

4 结语

在高中数学等比数列的学习过程中，其难点在于等比数列的变式较多，在实际解题时，只有选择与之相适应的解题方法，才能够有效地降低题目难度，提高解题效率。因此，我们高中生不仅要全面掌握有关于等比数列题目的基础知识，而且还需要熟练应用各种类型的解题技巧，提高个人对等比数列前n项和求解的适应性。