武亦文　李宛虹

【摘要】随着保险精算评估方法的快速发展，广义线性模型在保险领域的应用越来越广泛。本文详细介绍了广义线性模型的理论基础，并且分别阐述了在不同的保险领域广义线性模型的应用。对优化保险精算分析方法具有一定的借鉴意义。

【关键词】广义线性模型；保险精算；定价；评估

一、背景介绍

广义线性模型（Generalized Linear Models）在精算中的应用起始于20世纪80年代。其应用涉及到精算学的各个领域，如生命表的修匀、损失分布、信度理论风险分类、准备金和费率估计等方面。广义线性模型的建立，极大地推动了以统计方法为基石的精算学的发展。

广义线性模型是线性模型的扩展，其特点是不强行改变数据的自然度量，数据可以具有非线性和非恒定方差结构，主要是通过联结函数，建立响应变量的数学期望值与线性组合的预测变量之间的关系。广义线性模型可以同时考虑所有的定价因素，并在人工参与的基础上对这些因素的相关性以及各因素之间的相互作用进行调整。该方法可以通过很多软件实现，比如SAS、R，计算效率很高。

二、广义线性模型的理论基础

古典线性回归模型中，将因变量表示为均值和一个随机扰动变量的和，而均值则表示为解释变量的线性组合。线性回归模型虽然很容易通过代数方法求解，但在精算应用中，这种假设通常很难得到满足。

（一）要求因变量服从正态分布且具有相同方差在很多情况下是不现实的，譬如索赔频率和续保率等数据通常不会服从正态分布。虽然可以通过数据变换来满足这一假设，如对因变量的观察值取对数，但是通常难以给出对数据进行这种变换的合理解释。

（二）在许多实际问题中，尤其是在保险实践中，因变量的取值往往是非负的，如索赔次数和赔款等变量。因变量服从正态分布的假设显然不能满足这一要求。（三）如果因变量是严格非负的，那么从直观上看，当因变量的均值趋于零时，其方差也应该趋于零。换言之，因变量的方差是其均值的函数。而在古典线性回归模型中，假设因变量的方差是固定的常数，与均值没有任何关系。

（三）在古典线性回归模型中，假设解释变量通过加法关系对因变量产生影响，但在某些情况下，解释变量之间可能通过一种乘法关系对因变量产生影响。

广义线性模型是古典线性回归模型的推广，对因变量的预测值并不直接等于自变量的线性组合，而是该线性组合的一个函数变换。而误差项也不仅仅限于正态分布。广义线性模型的假设通常可以归纳如下。

（一）系统成分，即解释变量的线性组合。系统成分和古典线性回归模型没有任何区别。值得注意的是，广义线性回归模型通常会包含截距项。

（二）随机成分，即因变量或误差项的概率分布，因变量的每个观察值相互独立且服从指数分布族中的一个分布。

在广义线性模型中，因变量的分布通常用均值μ和离散参数φ来表示，因为我们需要重点预测的就是因变量的均值。我们所熟悉的一些分布，如正态分布、泊松分布、二项分布、伽马分布和逆高斯分布，它们都属于指数型分布族。

（三）连接函数。连接函数g单调且可导，它建立了随机成分与系统成分之间的关系。可见，在广义线性模型中，对因变量的预测值并不直接等于解释变量的线性组合，而是该线性组合的一个函数变换。

三、广义线性模型在保险领域的应用分析

广义线性模型目前应用最多的为车险的分类费率厘定、未决赔款准备金的预测分析和生命表的修匀。

车险定价由于涉及到很多个方面的因素，如驾驶人年龄、使用年限、车型、地区等等，传统定价方法很难将这些因素进行全面考量，利用广义线性模型可以将这些影响因素全都纳入其中，一方面是模型可以运用统计方法检验，能达到更好的拟合效果，另一方面，可以实现差异化定价，在必要情况下能够满足不同群体的需求。

未决赔款准备金目前的做法大多为链梯法，使用累积赔款的流量三角形计算链梯比率和进展因子，并在此基础上估计准备金，但是它用到的参数较多，模型稳定性可能会较差，且不能直接预测尾部赔款。广义线性模型同样可以用于准备金的计算，利用赔付数据的流量三角形进行建模，作出参数估计，可以直接预测各个进展期的赔款。

在寿险产品定价中，各年龄段死亡率预测的精确程度直接影响着费率的厘定。在目前死亡率逐年改善的趋势下，使用經验生命表容易低估长寿风险，引进广义线性模型可以动态预测各年龄层在各个年份的死亡率变化，但是这一过程计算量较大，在实际工作中的可操作性有待商榷。对再保公司而言，主要承保的是死亡风险的产品，死亡率的改善是利好的，使用经验生命表进行定价会相对保守，对死亡率动态修匀的需求相对较弱。

对于健康险而言，过去的赔付经验对定价的指导意义更大，经验分析也就显得尤为重要。目前的工作中主要还是用链梯法来预测IBNR，这种方法可操作性强，技术难度低，精算师可以灵活加入个人经验，有其一定的优势，但是也存在计算繁琐，无法直接计算尾部赔款等不足。