王 磊

四边形的相关知识，是中考必考的知识点，而且经常出现在解答题中，需要写出详细的解答过程.在应试过程中，总有同学因为疏忽，导致丢分.下面让我们来总结一下，在解答四边形的相关问题时，要注意的几个地方.

一、解答程序要完整

所谓答题程序，就是指要准确地写出我们所设的未知数的意义，写出引用的概念或者定理，要有必需的计算过程，应用题别忘记写“答”.

例1 （2017·海南）（10分）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1∶1（即DB∶EB=1∶1），如图1所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC.

图1

（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）

【试题分析】本题考查了梯形的相关知识，需要运用解三角形的知识进行解答.在书写过程中，要注意单位、比例式、公式等过程书写的完整性.

【解答过程】设BC=x.

在 △ ABC 中 ，∠CAB=180°-∠EAC=50°.

（2分）

在Rt△EBD中，i=DB∶EB=1∶1，∴BD=BE，

∴CD+BC=AE+AB，（6分）

即BC=12（.9分）

答：水坝原来的高度为12米（.10分）

二、计算过程要详细

当遇到一些计算问题，我们要详细地写出计算过程，不能认为不重要而省略不写.

例2 （2017·宁波）（8分）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：

图2

如图2，将矩形的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE.

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

（2）若矩形是边长为1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的长.

【试题分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、正方形的性质和解直角三角形的相关知识，需要进行计算的地方较多，注意计算过程要详细.

【解答过程】（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，又∵BF=DH，

∴AD+DH=BC+BF，即AH=CF.（2分）

∵AE=CG，∴EH=FG.（3分）

同理得：EF=HG.

∴四边形EFGH为平行四边形.（4分）

（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1，

设AE=x，则BE=x+1.

∵在Rt△BEF中，∠EFB=45°，

∴BE=BF.（5分）

∵BF=DH，∴DH=BE=x+1，

∴AH=AD+DH=x+2.（6分）

∵tan∠AEH=2，

∴AH=2AE，∴2+x=2x.（7分）

∴x=2，即AE=2.（8分）

三、推理过程要严密

在解答四边形的相关问题时，同学们往往会先采用逆向思维对题设进行剖析，然后再书写解题过程.此时我们要注意，推理过程是否严密，说理过程是否符合逻辑.

例3 （2016·连云港）（8分）四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO.

图3

【试题分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，思路清晰地写出推理过程是解题的关键.

【解答过程】证明：（1）∵BE=DF，

∴BE-EF=DF-EF，

即BF=DE，（2分）

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED=∠CFB=90°，

在Rt△ADE与Rt△CBF中

∴Rt△ADE≌Rt△CBF.（4分）

（2）如图4，连接AC交BD于O，

∵Rt△ADE≌Rt△CBF，

∴∠ADE=∠CBF，（6分）

图4

∴AD∥BC，又∵AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO.（8分）

四、提高审题的精确度

四边形的知识往往会与很多操作性问题相结合，构成压轴题.此时，我们的审题要准确，搞清顶点、边、角之间的关系，仔细观察、细致分析.

例4 （2017·山西）（12分）

背景阅读

早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中.为了方便，在本题中，我们把三边的比为3∶4∶5的三角形称为（3，4，5）型三角形.例如：三边长分别为9，12，15或3 2，4 2，5 2的三角形就是（3，4，5）型三角形.用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.

实践操作

如图5，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm.

第一步：如图6，将图5中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平.

第二步：如图7，将图6中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF.

第三步：如图8，将图7中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平.

图5

图6

图7

图8

问题解决

（1）请在图6中证明四边形AEFD是正方形.

（2）请在图8中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明.

（3）请在图8中证明△AEN是（3，4，5）型三角形.

探索发现

（4）在不添加字母的情况下，图8中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称.

【试题分析】本题以矩形为载体，通过对折叠后得到的图形进行深入探究，发现规律，再应用规律解决新问题.本题考查了四边形和勾股定理的相关知识，检验了同学们的抽象思维能力.

【解答过程】（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠DAE=90°.（1分）

由折叠知：AE=AD，∠AEF=∠D=90°，

∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°，

∴四边形AEFD是矩形.（2分）

∵AE=AD，∴矩形AEFD是正方形.（3分）

（2）NF=ND′.证明如下：连接HN.

图9

由折叠知：

∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′.（4分）

∵四边形AEFD是正方形，∴∠EFD=90°.

∵∠AD′H=90°，∴∠HD′N=90°.（5分）

在 Rt△HNF 和 Rt△HND′中，HN=HN，HF=HD′，

∴Rt△HNF≌Rt△HND′，

∴NF=ND′.（6分）

（3）∵四边形AEFD是正方形，

∴AE=EF=AD=8，

由折叠知：AD′=AD=8，

设NF=x，则ND′=x，AN=AD′+ND′=8+x，

EN=EF-NF=8-x.（7分）

在Rt△AEN中，由勾股定理得：

AN2=AE2+EN2，

即（8+x）2=82+（8-x）2，解得：x=2，（8分）

∴AN=8+x=10，EN=6，

∴EN∶AE∶AN=6∶8∶10=3∶4∶5，

∴△AEN是（3，4，5）型三角形.（9分）

（4）△AEN是（3，4，5）型三角形，凡是与△AEN相似的三角形都是（3，4，5）型三角形，所以答案为：△MFN，△MD′H，△MDA.（12分）

小试牛刀

已知：如图10，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如果BE=BC，且∠CBE∶∠BCE=2∶3.求证：四边形ABCD是正方形.

图10

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