◇陈 敏

在“三角形的面积”新授课结尾时，常常可以听到如下对话——

师：要求三角形面积必须知道什么？

生：它的底和高。

教师满意地点头。

要求三角形的面积，真的必须知道它的底和高吗？我们不妨来回顾一下中小学教材中出现过的主要的三角形面积计算公式。

一般小学教材中，会通过割补的方法将平行四边形转化为相应的长方形，得到平行四边形面积的一般求法，即 S平行四边形=ah。进而，利用两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，推导出一般三角形的面积计算公式

三角函数中规定：对任一直角三角形ABC（如图 1）中的锐角 A，有：（正弦）（余弦），（正切）

图1

图2

张景中院士曾建议，在小学里也可引入这一算法[1]。基本设想是：从正方形出发，把单位正方形“压扁”成菱形（菱形的一个锐角是∠A）。通过操作，可以直观地发现，压得越扁，即∠A越小，面积也越小。张院士将压扁后菱形的面积与原正方形的面积之比妙喻为面积打的“折扣”，这个折扣就是∠A的正弦函数，即sinA。这样，用单位菱形（面积为：1·1·sinA=sinA）来度量，得到相邻两边长为b、c的平行四边形面积为bcsinA，其中∠A是这两边的夹角。而与其相应的三角形的面积为

公式3：海伦-秦九韶公式

下面，我们来推导余弦定理。

仍以三角形ABC为例：

图3

根据余弦定义，可知：bcosA+acosB=c（称为式②）。同理有：ccosB+bcosC=a（称为式③），acosC+ccosA=b（称为式④）。

解由式子②③④组成的方程组，得：

这就是余弦定理。

继续用余弦定理来证明正弦定理。

对比式①和式⑤，得：16S2=2（a2b2+b2c2+a2c2）-（a4+b4+c4）=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）。

这就是著名的海伦公式，传说是古代的叙拉古国王海伦（Heron）二世发现的（约1世纪）。但根据克莱茵（Morris Kline）在1908年的著名考证，这个公式其实是阿基米德 （Archimedes）发现，假托海伦二世之名发表的[2]。我国南宋时期的数学家秦九韶（约公元1202—1261年）也独立发现了相似的公式。

由于这两个公式形式不同而实质相同，而且两人又是完全独立发现的，因此，人们通常称它们为“海伦-秦九韶公式”[3]。

自此，只需测量三角形三边的长度，即可求得三角形的面积。

这一大堆公式的回顾，显然已经说明要求三角形的面积不一定非要知道它的底和高。我们只能说知道了三角形的底和高，可以求出它的面积，但其逆命题并不成立。即，三角形的底和高是求三角形面积的充分而非必要条件（有兴趣的读者可以查阅、复习相关知识）。

此外，还有很重要的一点，很多时候我们不是单从一个图形内部来思考和解决问题的，往往还会对图形之间的关系进行沟通和转化，达成更为灵活和精妙的推理。比如下面这一题：（如图4）已知梯形ABCD的面积是50平方厘米，三角形ABD的面积是20平方厘米。求图中阴影部分的面积。

图4

解：S阴=S△BDC=50－20=30（平方厘米）。

如果学生一味苦思本题中各图形的底、高的数据，就会陷入泥沼。很多时候，学生解题思路的刻板恰恰源于教师教学的僵化。慎之，慎之。

[1][2]张奠宙，孔凡哲，黄建弘等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]Chen Cheng-Yi h.Early Chinese work in Natural Science:a re-exam in action of the Physicsofmotion,Acoustics,Astronomy and Scientific Thoughts[M].HongKong University Press,1996.

[4]陈敏，许含英.一课研究丛书·图形与几何系列·三角形和梯形面积教学研究[M].北京：教育科学出版社，2014.