涂覆石墨烯的非对称并行电介质纳米线波导的模式特性分析∗

2018-03-26彭艳玲薛文瑞卫壮志李昌勇

物理学报 2018年3期

关键词：电介质纳米线涂覆

彭艳玲薛文瑞† 卫壮志李昌勇

1)(山西大学物理电子工程学院,太原 030006)

2)(山西大学激光光谱研究所,量子光学与光量子器件国家重点实验室,太原 030006)

1 引言

石墨烯具有独特的光电性质,如极高的电子迁移率[1]和超快的载流子运动[2]等.石墨烯的这些特性在变换光学[3]、饱和吸收器[4]、表面等离子体领域[5]、化学和生物传感领域[6−8]等有着广泛的应用.

与传统的贵金属相比,石墨烯表面等离子体(graphene surface plasmons,GSPs)具有模式束缚性强、传播损耗低、可调性强等特点[9].为了利用GSPs的这些特性,人们提出了多种多样的基于石墨烯的波导结构,例如石墨烯纳米带波导[10]、石墨烯纳米带平行板波导[11]、介质负载的石墨烯波导[12]、石墨烯楔形和槽形波导[13]、石墨烯锥形波导[14]、涂覆石墨烯的纳米线波导[15]、附带基底的石墨烯纳米线波导[16]等.

目前,涂覆石墨烯的电介质纳米线波导结构是一个研究热点.2014年,Gao等[17]用解析法和数值模拟法研究了涂覆单层石墨烯的单根电介质纳米线,结果表明其模式具有方位角对称性并且在电磁场分布中可用相位因子表征模式的阶数.2015年,Yang等[18]采用解析法和有限元法( finite element method,FEM)研究了涂覆双层石墨烯的单根电介质纳米线,结果表明通过改变石墨烯的费米能、两石墨烯片间的间距以及纳米线的半径可调节模式特性.2016年,Liu等[19]采用耦合模式微扰理论研究了涂覆单层石墨烯的双纳米线对称结构,结果表明对称耦合模式和反对称耦合模式源自两相同的单根波导的模式耦合.2017年,Jiang等[20]运用变换光学理论研究了两个石墨烯包覆的电介质纳米线间的等离子体相互作用.迄今,对于涂覆石墨烯的非对称并行电介质纳米线波导的模式特性的研究尚未见报道.

本文拟采用多级展开方法对涂覆石墨烯的非对称并行电介质纳米线中低阶的七种模式进行分析,对每种模式的有效折射率和传播长度与工作频率、几何结构参数、石墨烯费米能之间的关系进行详细的研究,并采用FEM对所得的结果进行验证.

2 结构模型

本文研究的非对称波导结构如图1所示,它是由并行的涂覆了单层石墨烯的半径不同的两根电介质纳米线构成的.左侧的纳米线标记为1号纳米线,半径为ρ1,右侧的纳米线标记为2号纳米线,半径为ρ2.两根电介质纳米线的相对介电常数均为ε1,间距为d,整个波导结构嵌入在相对介电常数为ε2的背景媒质中.由Kubo公式可知,当温度T为300 K并且载流子散射率Γ为2×1012rad/s时,石墨烯的面电导率σg主要由工作频率f和费米能EF决定[18].

图1 涂覆石墨烯的非对称并行电介质纳米线的横截面示意图Fig.1.Cross sectional sketch of graphene-coated asymmetric parallel dielectric nanowires.

3 理论模型

以两根电介质纳米线的轴心为原点,分别建立极坐标系(r1,ϕ1)和(r2,ϕ2),如图1中所示. 假设波导结构中的模式在z方向上传播,则GSPs模式的电磁场分量均可表示为F(r,ϕ)exp[i(βz−ωt)],其中F代表电场或者磁场在横截面上的分布,β为模式的纵向传播常数,ω为工作圆频率.在每根电介质纳米线中,纵向电磁场分量都满足Helmholtz方程.假设在各个区域中,纵向电磁场表示为(1)—(4)式:

在r1＜ρ1区域

在r2＜ρ2区域

在r2＞ρ2区域

这里,In和Kn为修正贝塞尔函数;An,Bn,Cn,Dn,En,Fn,Gn,Hn为待定系数,

以sin模为例,对推导过程进行详细阐述.

根据Bessel函数的加法定理[21,22],可将电介质纳米线外的电磁场在两个坐标系中变换,表示为

其中,fmn=Kn+m(λ2a)+Kn−m(λ2a),gmn=Kn+m(λ2a)− Kn−m(λ2a),a=d+ ρ1+ ρ2. 依据Maxwell方程组,就可由纵向电磁场分量得到电磁场的其他场分量.在实际的计算中,需要将(1)—(8)式中的无限项求和截断为M项求和.

将石墨烯看作厚度可以忽略的导体边界,利用电磁场在这一边界处的切向边界条件,

其中i=1,2,分别代表1号纳米线和2号纳米线,可以建立一个齐次线性代数方程组:

其中[A]为系数矩阵,[x]为(1)—(4)式中的待定系数组成的一个列矢量.假设M为(5)—(8)式及其他场分量中n和m的上限值,也就是说,把无穷项求和截断为M项求和,则[A]为一个方阵,且这个方阵由8×8个子方阵a(i,j)组成.每个子方阵a(i,j)中包含M×M个矩阵元am,n(i,j),它们的表达式见附录A.根据线性代数理论,齐次线性代数方程组(10)有解的充分必要条件是该方阵的行列式Δ=0,即

通过求解方程(11),就可以得到模式的色散关系,并通过方程(10)得到对应的模式的场分布.

4 结果与讨论

涂覆石墨烯的非对称并行电介质纳米线波导中的GSPs模式非常丰富,本文对低阶的七种GSPs模式进行研究,依次命名为mode 0,mode 1,···,mode 6.

图2 在ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV条件下,七种GSPs模式的场分布(左列为纵向电场分布图,右列为电场强度分布图)Fig.2.The field distributions of seven GSPs modes with ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz and EF=0.5 eV.The left column is the longitudinal electric field distribution,and the right column is the electric field intensity distribution.

在ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV的条件下,图2描绘了低阶的七种GSPs模式的纵向电场分布和电场强度分布.观察图2可知,电磁场主要集中于两根纳米线之间的缝隙区域或者半径较大的纳米线表面.根据(1)—(4)式中的因子cos(nϕ)和sin(nϕ),可把这七种模式分为两类.一类是cos型,即两根纳米线上纵向电场的最值位于水平方向,如图2中的mode 0,mode 2,mode 4,mode 6;另外一类为sin型,即两根纳米线上纵向电场的零值位于水平方向,如图2中的mode 1,mode 3和mode 5.与涂覆石墨烯的单根电介质纳米线[17]比较可以发现,这里的mode 0是前者的零阶模之间相互吸引形成的cos型模式.这里的mode 1和mode 2分别是前者的一阶模之间相互吸引形成的sin型模式和cos型模式.这里的mode 3和mode 4分别是前者的一阶模与二阶模相互吸引形成的sin型模式和cos型模式.这里的mode 5和mode 6分别是前者的一阶模和三阶模相互吸引形成的sin型模式和cos型模式.可以发现,在这七种模式中,与文献[23]中的模式不同的是电磁场分布在半径较大的纳米线表面所占的比例有较大幅度的增加.如果以文献[17]中的模式分类方法来观察,小半径纳米线上的模式的阶数小于大半径纳米线上的模式的阶数.

图3 在ρ1=100 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV条件下,当ρ2的取值依次为120,150,200 nm时,(a)–(c)mode 1和(d)–(f)mode 3的Ez场分布演化Fig.3.Ez field distribution evolution diagrams of(a)–(c)mode 1 and(d)–(f)mode 3 when the values of ρ2are 120,150 and 200 nm,respectively. ρ1=100 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz,and EF=0.5 eV.

在ρ1=100 nm,d=10 nm, ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV的条件下,当ρ2分别取120,150和200 nm时,图3给出了在非对称结构中,mode 1和mode 3的Ez场分布.观察图3可以看出,随着2号纳米线半径的不断增大,mode 1的纵向电场分布相似,场的变化很小,仅场的分布范围发生了变化.mode 3的Ez场分布则变化剧烈.当2号纳米线的半径为120 nm时,这时的场分布显示,在缝隙区域出现了一对强度非常微弱的节点[17],如图3(d).这个GSPs模式是由文献[17]中一阶模和二阶模相互吸引形成的sin型模式,即本文中的mode 3.当2号纳米线的半径进一步增大为150 nm时,在缝隙区域附近的电场增强,新增节点增加明显.当半径增大为200 nm时,由于新增节点处的场继续增强,使得两纳米线上电场间的相互吸引作用增强,导致1号纳米线上的场向缝隙区域靠拢,如图3(f)所示.在计算中还发现,对于这种非对称结构,低阶模式的构成是随两根纳米线的尺寸而变化的,并不是文献[23]中两种零阶模之间和四种一阶模之间的简单耦合.

图4(a)给出了该结构支持的GSPs模式的有效折射率Re(neff)和传播长度Lprop随频率的变化关系.这里有效折射率定义为Re(neff)= Re(β)c/(2πf),传播长度定义为Lprop=c/(4πfIm(neff)),其中c为真空中的光速,f为工作频率.从图4可以看出,在f从10 THz增大到50 THz的过程中,除了mode 0以外,其他模式都出现了截止频率.并且sin型模式(mode 1,3和5)在截止频率处的有效折射率趋于零.这表明随着频率的增大,有更多的模式出现,且所有模式的有效折射率单调增大.图4(b)所示为各个模式的传播长度随频率的变化.当频率较大时,各模式的束缚性较强.这就使得吸收损耗较大,导致传播长度变小.sin型模式的传播长度在截止频率附近迅速减小,并且随着频率的增大呈现出先迅速增大,达到峰值后缓慢减小的趋势;而cos型模式的传播长度则随着频率的增大单调减小.从图4可以看出,若频率继续减小,很有可能实现单模传输,并且mode 0的传播长度随着频率的减小而进一步增大.此外,在相同的参数设置下,利用FEM对以上研究结果进行了验证.图4中的点是FEM的数值结果,它们与多极方法计算的结果非常符合.

两根纳米线间的间距d对GSPs模式特性有一定的影响.图5展示了在d从5 nm增大到40 nm的过程中,各个模式的有效折射率和传播长度的变化情况.mode 0的模式特性变化最剧烈.随着间距的增大,mode 0的有效折射率单调减小,这就意味着模式的束缚性下降,传播损耗减小,从而传播长度不断增大.这是因为当间距为5 nm时,与纳米线的直径相比,耦合距离非常小,两纳米线上电磁场间的相互吸引作用非常强,从而导致表面等离子模式的束缚性非常强,传播损耗较大,传播长度很小;当间距变大时,两纳米线上电磁场间的相互吸引作用相对减小,因而束缚性也相对变弱,传播长度增大.mode 1的有效折射率变化较小,而传播长度变化较大.对于其他模式而言,不论是有效折射率还是传播长度,它们的变化都非常微弱.当d＞25 nm时,mode 0的传播长度是七种模式中最大的.

图6描述了各个模式的有效折射率和传播长度随纳米线半径ρ2变化的关系.从图6可知,在ρ2从100 nm增大到300 nm的过程中,该结构支持的GSPs模式在逐渐增多,而各个模式对应的有效折射率和传播长度的变化并不大.这说明,其中一根电介质纳米线的半径增大时,对该结构支持的GSPs模式数有较大的影响,对于各个模式的有效折射率和传播长度的影响比较小.随着半径的增大,除mode 0和mode 1外,大部分模式的有效折射率和传播长度缓慢地增大.这就表明本文提出的这种非对称的波导结构可在一定程度上有效地减小因实际制作造成的误差对模式特性的影响.当2号纳米线的半径较大时,对于mode 0和mode 1,与FEM结果相比,有效折射率和传播长度的计算结果存在一定的误差.

图5 在ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV的条件下,(a)有效折射率、(b)传播长度与间距d之间的关系Fig.5.The dependence of(a)the effective refractive index and(b)the propagation length on the spacing d when ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz and EF=0.5 eV.

图6(a)有效折射率、(b)传播长度与半径ρ2之间的关系(ρ1=100 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz,EF=0.5 eV)Fig.6.(a)The effective refractive index and(b)the propagation length versus the radius ρ2when ρ1=100 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz,EF=0.5 eV.

图7 当ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz时,(a)有效折射率、(b)传播长度与费米能EF之间的关系Fig.7.The values of(a)effective refractive index and(b)the propagation length as functions of Fermi energy EFwith ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz.

利用石墨烯独特的物理性质,能够对GSPs模式的特性实现动态调整.图7给出了石墨烯费米能对模式的有效折射率和传播长度的影响.从图7可以看出:在费米能从0.3 eV增大为0.7 eV的过程中,各个模式的有效折射率和传播长度变化剧烈;并且各模式的有效折射率单调减小,传播长度单调增大.这就表明,可通过改变施加在石墨烯上的偏置电压,达到控制费米能的目的,从而便捷、有效地实现对该波导中模式特性的大范围调控.

5 结论

本文采用多级展开法对一种涂覆石墨烯的非对称并行电介质纳米线波导的模式特性进行了分析研究.通过对低阶的七种GSPs模式的有效折射率和传播长度的研究,可得到如下结论:1)当工作频率从10 THz增大为50 THz时,该结构中GSPs模式种类增多,且各模式的有效折射率单调增大;并且随着频率的增大,cos型模式的传播长度单调减小,sin型模式的传播长度均表现出先增大后减小的趋势;2)随着两根电介质纳米线间的距离不断增大,mode 0模式和mode 1模式的模式特性变化剧烈,而其他模式的有效折射率和传播长度的变化非常小;当间距大于25 nm时,mode 0的传播长度最长;3)随着其中一根电介质纳米线半径逐渐增大,在所计算的范围内,模式数目会不断增多,而各个模式的有效折射率和传播长度受到的影响均较小;4)在石墨烯的费米能从0.3 eV增大为0.7 eV的过程中,各模式的有效折射率和传播长度的变化均很大;并且各模式的有效折射率单调减小,而传播长度在不断增大.所得结果均得到了FEM数值结果的验证.本文工作可以为涂覆石墨烯的非对称并行电介质纳米线的设计、制作和应用提供理论基础.

附录A 矩阵元am,n(i,j)的表达式

方程(11)中的每个子方阵a(i,j)中包含M×M个矩阵元am,n(i,j),其中不全为零的矩阵元如下: