王勇梅凤翔曹会英郭永新

1)(北京理工大学宇航学院,北京 100081)

2)(广东医科大学信息工程学院,东莞 523808)

3)(辽宁大学物理学院,沈阳 110036)

4)(辽东学院影像物理教研室,丹东 118001)

1 引 言

Hamilton-Jacobi方法是求解Hamilton正则方程的重要方法,其特点之一是把求解常微分方程组通解的问题转化为寻找一个一阶非线性偏微分方程(Hamilton-Jacobi方程)完全解的问题.经典Hamilton-Jacobi方法本质上体现了完整保守系统Hamilton正则方程与Hamilton-Jacobi方程特征曲线之间的关系,因而被广泛应用于经典力学、几何光学、流体力学、粒子物理、广义相对论、量子力学、宇宙学、最优控制、化学等诸多研究领域.但由于存在非常严苛的限制,经典Hamilton-Jacobi方法很难直接推广至非完整或非保守系统中[1].20世纪80年代,南斯拉夫学者Vujanović[2−4]提出了用于处理完整非保守问题的场方法,和Hamilton-Jacobi方法类似,这种方法把求解常微分方程组满足初始条件特解的问题转化为寻找一个一阶拟线性偏微分方程(基本偏微分方程)完全解的问题.由于没有像Hamilton-Jacobi方法那样强的限制条件,Vujanović场方法很快被推广至非完整系统、Birkhoff系统和可控力学系统等诸多研究领域中,取得了一系列重要研究成果[5−19].但Vujanović场方法在实际应用中仍然存在一个基本困难,即Vujanović场方法依赖于求出基本偏微分方程的完全解,而这通常是很困难的.

本文把Vujanović场方法改进为寻找动力学系统第一积分的场方法.改进后的场方法只要能够找到基本偏微分方程的包含若干个任意常数的解(完全解是此类解中包含有最多数目任意常数的特例),那么就可以由此找到系统若干个第一积分.特殊地,如果能够求出基本偏微分方程的完全解,那么就可以由此找到系统全部第一积分,从而完全确定系统的运动,Vujanović场方法等价于这种特殊情况.

然后本文使用改进后的场方法来积分Riemann-Cartan空间中的运动方程.在我们已有的研究中已经指出[20−24],对一些比较复杂的一阶线性定常齐次非完整约束系统,可以先用一阶线性非完整映射把系统的位形空间约化为低维Riemann-Cartan空间,从而使问题得以简化.本文简要介绍了用一阶线性非完整映射构造非完整约束系统在Riemann-Cartan位形空间中运动方程的方法,然后用改进后的场方法就有可能找到系统的若干个第一积分.

2 场方法及其改进

Vujanović场方法指出,对于描述力学系统运动的形如

的常微分方程组,如果把x1看作是其他xi和时间t的函数,那么就可以构造出形如

的基本偏微分方程.如果能够找到基本偏微分方程(2)的一个完全解

其中Ci为任意常数,并将初始条件

代入完全解(3)中求出其中任意一个常数,例如C1,代回完全解(3),得到

那么将(5)式和(n−1)个代数方程

联立后解出全部xi就可得到常微分方程组(1)的满足初始条件的特解.

可以将上述求常微分方程组特解的场方法改进为寻找力学系统第一积分的如下命题.

命题1 对描述力学系统运动的形如(1)式的常微分方程组,如果把x1看作是其他xi和时间t的函数,就可以构造出形如(2)式的基本偏微分方程.如果能够找到基本偏微分方程的一个包含m(m≤n)个独立的任意常数CB的解

则只需将该解中任意(m−1)个常数固定,就可以得到系统的一个第一积分;重复这一操作,分别将该解中不同的(m−1)个常数固定,即可得到系统如下m个独立的第一积分:

其中,每一个第一积分中除Cα外其他CB都固定.特别地,如果解(7)是基本偏微分方程的一个完全解,即m=n,那么用上述方法就可以得到系统的全部n个独立的第一积分,并可由此完全确定系统满足初始条件的特解.

要想证明命题1,首先注意到把解(7)中任意(m−1)个常数固定,所得结果(即(8)式中的任意一个)包含一个任意常数,且仍然是基本偏微分方程的解,因而一定满足描述系统运动的微分方程组(1),因此(8)式中的任意一个等式都是系统的一个第一积分.再考虑到解(7)中常数CB的独立性,即可知(8)式中的m个等式是相互独立的.综上可知(8)式是系统m个独立的第一积分.证毕.

命题1扩展了场方法的适用范围.如果试图用Vujanović场方法直接求出系统满足初始条件的特解,则必须要找到基本偏微分方程(2)的包含n个独立的任意常数的完全解,对大多数问题而言这是一件非常困难的任务;在很多情况下,虽然不能找到完全解,但却有可能找到基本偏微分方程(2)的包含m(m≤n)个独立的任意常数的解,此时根据命题1就可以得到系统m个独立的第一积分.

例1 Chaplygin雪橇的惯性运动[5].

系统的Lagrange函数和约束方程分别为

令q1=x,q2=φ,q3=y,可得系统Chaplygin方程的显式表达为

令x1=q1,x2=q2,x3=q˙1,x4=q˙2,则 由(10)式可得

考虑到初始条件

容易求出

代入(11)式的第一和第三式可得

令x1=u(t,x3),则与(14)式对应的基本偏微分方程为

该基本偏微分方程的一个通解为

其中c1和c2为任意常数.依次固定c1和c2,例如分别取c1和c2为零,即可得到如下两个第一积分:

由此即可直接解出

可以验证(19)式确实是(14)式的通解,利用初始条件确定常数c1和c2后即得满足初始条件的特解,所得结果和文献[5]中的结果一致.

质点的运动方程为

这是一个非线性非齐次二阶常微分方程,按照通常的方法很难直接求出其通解.

我们无法求出该基本偏微分方程的完全解,但容易验证

是(21)式的包含一个任意常数的解.根据命题1,该解就是系统的一个第一积分,所以有

由此可得

3 场方法在积分Riemann-Cartan空间中运动方程中的应用

本节中所有i,j,k=1,2,···,n; µ,ν,σ,π =1,2,···,m;α,β,γ =2,···,m;m ＜ n.

对于受到(n−m)个一阶线性定常齐次非完整约束的系统,从它的n维欧式位形空间[X]出发,利用一个隐含非完整约束的不可积一阶线性映射

可以把位形空间[X]映射为一个有挠率的Riemann-Cartan空间[Π],其中x˙i为系统在位形空间[X]中的速度,ωµ为由映射(25)所定义的系统的一个准速度.由映射(25)可以计算出Riemann-Cartan空间[Π]的度规和联络分别为

描述系统运动的运动方程为

其中Fi为系统所受外力.将(25)和(28)式联立,就得到了由(n+m)个方程所构成的Riemann-Cartan空间[Π]中描述系统运动的完备的一阶常微分方程组.

用场方法求解上述常微分方程组,需要将(n+m)个变量x˙i和ωµ中的一个,例如ω1,看作是依赖于其他变量和时间t的场函数,即取

则有

由(25)和(28)式,可得对应的基本偏微分方程为

根据命题1,如果能够找到基本偏微分方程(31)的包含h(h≤n+m)个独立任意常数的解,就能确定出系统的h个第一积分.特殊情况下,如果能够找到包含(n+m)个独立任意常数的完全解,就可以由(n+m)个独立的第一积分和(n−m)个约束完全确定系统的运动.

例3受非完整约束(x1+x2+x3)x˙1−x˙3=0的质点,所受非保守力为

求质点的运动.

质点带乘子的Lagrange方程为

和非完整约束联立后可以解得乘子为

代入(32)式即得消去乘子后的方程,该方程很难直接求解.

取一阶线性非完整映射

代入(28)式并和(34)式联立后可得系统在Riemann-Cartan位形空间[Π]中的运动方程为

显然,(37)式是一个可以直接求解的常微分方程组,但为了验证命题1的结论,下面仍然采用场方法来求解.

为了一次得到系统全部独立的第一积分,对问题不加任何简化,直接将(37)式代入(30)式中,所得基本偏微分方程为

基本偏微分方程的一个完全解为

将完全解中五个独立的任意常数中的任意四个固定,例如都取为零,即可得到系统的五个独立的第一积分:

将这五个第一积分和约束方程联立后即可完全确定粒子的运动,所得结果与直接求解(37)式的结果相同.从五个第一积分中消去两个准速度即得质点的运动方程,代入(32)和(33)式即可验证结果的正确性.

求质点的运动方程.

质点带乘子的Lagrange方程为

和非完整约束联立后可以解得乘子为

代入(32)式即得消去乘子后的方程.可以看出该方程很难直接求解,但利用一阶线性非完整映射的方法和改进后的场方法可以得到两个第一积分.

取一阶线性非完整映射

由(26)和(27)式计算出系统对应的Riemann-Cartan位形空间[Π]的度规和联络分别为

代入(28)式并和(34)式联立后可得系统在Riemann-Cartan位形空间[Π]中的运动方程为

我们无法求解(50)式,但在此基础上用场方法可以得到两个第一积分.

应用场方法,由(50)式后两式可得与之对应的基本偏微分方程为

如果能直接解出(52)式,就能得到基本偏微分方程的一个完全解,但这一步比较麻烦.注意到如果令(52)式中的c=0,则可以很容易求得基本偏微分方程的如下只包含一个任意常数的解:

由命题1可知,这是系统的一个第一积分.将(53)式代入(50)式中的第五式,可得

和(53)式联立,消去c1后即得系统第二个第一积分:

由(50)式中的后两式可直接验证两个第一积分的正确性.

4 结 论

Vujanovi场方法依赖于求出基本偏微分方程的完全解,而这通常是很难的,这就极大地限制了场方法的应用.本文把Vujanovi场方法改进为寻找动力学系统第一积分的场方法.改进后的场方法不仅计算相对简单,而且具有更大的灵活性.如果可以求出基本偏微分方程的完全解,则改进后的场方法等价于Vujanovi场方法.但更一般地,根据改进后的场方法,只要能够找到基本偏微分方程的包含任意常数的解,即使不是完全解,也能由此直接得到动力学系统的若干个第一积分,这必将拓宽场方法的适用范围.此外,本文介绍了用一阶线性非完整映射构造一阶线性非完整约束系统在Riemann-Cartan位形空间中运动方程的方法,并用改进后的场方法研究了Riemann-Cartan空间中运动方程的积分问题,通过算例可以看出这是研究某些非完整非保守运动问题的一种有效方法.最后需要指出的是,尽管本文只是应用改进后的场方法求解了一些非完整系统和非保守系统的例子,但可以看出,只要采用和文献[5–19]完全相似的方法,就可以把改进后的场方法应用于Vacco动力学系统、Birkhoff系统、变质量系统、相对运动的力学系统、可控力学系统、相对论系统、转动相对论系统等研究领域.

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