仓万林

说起镶嵌，大家可能都很陌生，但生活中常见的铺瓷砖，就是典型的镶嵌问题.

在几何中，平面镶嵌又称为“平面密铺”，指能用一种或多种几何图形覆盖整个平面，且每个几何图形之间不存在空隙、也不重叠的几何结构.镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360。.在平面镶嵌中，最简单的是正镶嵌，即由同一种正多边形构成的镶嵌，只有正三角形、正方形、正六边形3种，

下面我们来讨论，只用一类全等形镶嵌平面.动手操作l 用全等的任意三角形镶嵌平面

把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形。用这些全等的三角形可镶嵌平面.因为三角形的内角和是180°，用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面，如图2.当然，镶嵌的方法不止一种，如图3.动手操作2用全等的任意四边形镶嵌平面仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面.因为四边形的内角和是360°，用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面.

小伙伴们不妨自己动手尝试一下，用全等的四边形Q的确可以铺满整个平面，如图4.

在刚才的操作中，我们还得到了的一个命题：若平行四边形P的边平行且等于四边形Q的对角线，则四边形Q的面积=2/1×平行四边形P的面积.有意思的是，操作中还隐含了一个“无字证明”，哈哈，好高大上呀，“无字证明”问题起源于20世纪90年代末美国《数学杂志》（《Mathematics Magazine》）开辟的一个专栏：没有文字的证明（Proof Without Words），粉丝遍布全球.小小镶嵌，还大有文章.

更为复杂的特殊五边形或者特殊六边形等镶嵌结构，请移步《数学文化素质教育资源库》.令人惊叹的是一位叫玛乔里·赖斯的家庭主妇，对平面镶嵌有很深的研究，尤其对五边形镶嵌提出了很多全新的结论，令许多一流的数学家也大为惊叹，有些悬案到目前还没有完全解决.聪明的你，好好去琢磨一下，相信你也会成为她的粉丝的.

下面我们来点新鲜的，用多种正多边形镶嵌.

动手操作3用正三角形和正六边形的组合进行镶嵌

动手之前，我们要先做一些准备工作.

先研究这样的情形：设在一个顶点周围有M个正三角形的角，有个正六边形的角.因为正三角形的每个角是60。，正六边形的每个角是120。.所以有

可见具有公共顶点的用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型：一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形，如图5；另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形，如图6.

如果在局部正三角形和正六边形不是围绕公共顶点分布，还有其他镶嵌方法，如图7.小伙伴们可探究用其他两种甚至更多种正多边形镶嵌的问题.

平面镶嵌中，好玩的东西还真不少，如埃舍尔绘画（如图8）和彭罗斯飞镖（如图9）等.

平面镶嵌升级版

看多了二維平面的镶嵌结构后，是不是有将问题升级到三维空间的冲动呢？数学家们还就是这样想的.更多讨论请小伙伴们查阅开普勒猜想（Kepler's Conjecture）等相关材料.

从平面镶嵌到空间镶嵌，由手工操作到科技前沿的计算机证明，数学应用的魅力体现得淋漓尽致.