何丽珍

摘 要：本文阐述高中数学中反例的作用极其应用，同时也收集了一些与教材相关的重要反例。但是当前，数学教学过程中，教师对教学反例的认识不够，教材也没有给予足够的重视。虽然证明在数学学习中有重要的作用，但是反例作为问题的另一个方面，也应清楚在数学学习中的重要性。

关键词：反例;高中数学;应用;作用

众所周知，要判断一个命题的正确性必须经过严密的推证，而要否定一个命题，却要举出一个与结论相矛盾的例子即可。这种与命题相矛盾的例子成为反例。

举反例和证明同时是重要的数学思维方式，它们是一个问题的两个侧面。美国数学家B.R.盖尔鲍姆和J.M.H奥姆斯特德指出：“冒着过于简单化的风险，我们可以说数学由两大类——证明与反例组成，而数学发现也是朝着两个主要的目标——提出证明与构造反例。”

反例在高中数学的应用及其作用

一、利用反例加深对数学概念的理解

学习数学概念，不仅要重视正面的例子，加以深刻阐明，还要运用合适的反例来领会概念的含义。学生在学习某些数学概念时，常常不能抓住数学概念的本质特性，不能全面的理解数学概念的内涵和外延，结果造成理解上的混淆，而反例的十分简明和具有说明力的否定，往往能起到正面例子起不到的作用，正确地使用反例，可以活跃学生的思维，加深对数学概念的理解。

如：函数奇偶性的应用

一个函数y=f（x）是奇（偶）函数，必须具备2个条件：（1）定义域关于原点对称;（2）f（-x）=-f（x）[f（-x）-f（x）]学生在做题时，往往忽略第一个条件。

例1：判断函数f（x）=（1-x）■的奇偶性。

误解：因为判断函数f（-x）=（1-x）■=■

而f（x）=（1-x）■=■

∴函数y=f（x）是偶函数

剖析：错误在于没有注意到f（x）定义域为半开区间[-1，1），不关于原点对称。

正确解法：因为f（x）定义域为半开区间[-1，1），不关于原点对称。

∴f（x）是非奇非偶函数

在高中数学的学习中，通常会碰到判断函数奇偶性的问题，久而久之，学生的头脑中就忽略“定义域关于原点对称”这个条件，这一反例纠正了学生对这一概念的错误理解，扩大了知识面。

二、利用反例直接解答问题

对于某些结论否定型问题，从正面证明它不成立一般不容易，而举一个反例往往能迅速的解决问题。

如：关于极限方面的应用

例2：若   an=A，   ，bn=B则    （an+bn）=A+B

解法：反之不成立，若直接说明不好入手，若举反例来说明，学生们记忆就深刻。例如an=■+n，bn=■-n，显然

（an+bn）存在，但   an与   bn均不存在.

“对则证明，否则举反例”，对于这类问题，盲目推导证明可能会陷入窘境，而恰当的反例往往能轻松地解决问题。

三、利用反例发现数学中的错误和漏洞，培养学生思维的严密性

一般来说，构造反例不象提出证明那样有清晰的逻辑途径，而给人一种不可捉摸的感觉，但他是一项积极的、创造性的思维活动，是一个探索发现的过程，通过反例的提醒，可以深入理解方法的本职和提高对充要条件的认识。

如：关于直线的倾斜率、斜率、截距方面的应用

例3：求过点（3，1），且在两坐标轴上截距相等的直线方程。

误解：设所求直线方程为■+■=1，由题意|a|=|b|，b=？芄a

上式变为■？芄■=1

又因为直线过点（3，1），

所以■？芄■=1，a=4或a=2

所以所求直线方程为■？芄■=1或■？芄■=1

剖析：错误在于利用截距■+■=1式直线方程时，没有注意a≠0，b≠0这个条件，漏掉了a=0的情况，并且对直线在两坐标轴上截距这一概念认识不清，要注意，截距可正，可负，可为零。

正确解法：因为直线在两坐标轴上截距相等，

设所求直线方程为■？芄■=1，a≠0

因为直线过点（3，1）

所以■+■=1，a=4

所求直线方程■+■=1即x+y-4=0

若a=0，直线在两坐标轴上的截距相等（都为0），可设直线方程为y=kx，

因为直线过点（3，1），

所以l=3k，k=■，即y=■x

所求直線方程为x+y-4=0或x-3y=0

通过反例，使我们发现解题过程的错误所在，同时也体会到，对待每一个问题都要认真思考，稍有不慎便可能出现漏洞，从而使他们体会到数学的严密性，形成良好的思维品质。

参考文献：

[1]张惠民.例谈反例构建.[J].北京：人民教育出版社.中学数学.2012年9月

[2]徐斌艳.数学课程与教学论.[M].杭州：浙江教育出版社，2013.