龙彦潮

摘 要：作為高中数学学科体系中最为重要的基础知识之一，数列与函数、不等式、解析几何等知识之间存在着密切的联系，集中考察了高中生的数学思维能力。本文简要阐释了数列在高中数学学科体系中的重要性，围绕常数数列、数列性质、通项公式等角度探讨了高中数学中数列的具体学习方法，以供参考。

关键词：高中数学;数列性质;解题方法

通过大量做题训练，我们发现在解答数列问题时往往难以寻求到准确的切入点，究其根本原因还是在于缺乏对数列概念与性质的明确掌握，未形成综合性的解题思维模式，难以依照试题选取对应通项公式进行解答。基于此，本文选取了几种常见的数列解题方法与技巧，借此阐释应对常见数列问题如何快速有效寻求解决策略，依照此思路逐层抽丝剥茧的完成多种数列问题的有效解决，切实提高解题能力。

一、数列在高中数学学科体系中的重要性

数列既是高中数学中的一个独立学习模块，又与函数、不等式等知识之间具有一定的内在关联。通过针对历年来全国各地高考数学试卷进行总结分析，可以发现数列知识一直以来都是重点考察问题，其考核比重呈现出逐年增加的趋势。因此，我们应当在学习数列知识的过程中便注重进行学习方法的归纳，确保能够总结出一套固有的解题思路用于解决大多数数列问题，再围绕具体数列问题进行深入分析，判断解题思路的不适用性并进行补充，以此确保在提高数学解题能力的同时也能够实现对个人思维逻辑与学习能力的有效提升。

二、高中数学中数列的具体学习方法探讨

（一）涉及常数数列的解题技巧。一般来说考察常数存在性的问题是数列知识中较为基础性的问题，由于常数是一个固定不变数值，因此可以利用特殊项进行常数数值的求解[1]。以下题为例：设等差数列{an}的首项为1，公差不等于0，在其前3n项中将其前n项的和与后2n项的和作比，其比值对于任意n都等于常数，且n∈N+，列出数列的通项公式并求出常数的值。通过分析题干可以设存在公差为d的等差数列{an}，前n项的和为Sn，根据已知条件可以得出■=？姿（？姿为常数），由于Sn=n+■d，可以得出S3n-Sn=2n+n（4n-1）d。设n为分别为1、2，则■=■=？姿，即得出d=2，？姿=■。因此可以得出，对于任意正整数n存在■=■=■=■=？姿成立，通项公式为an=2n-1，常数为■。

从另一个解题思路入手，我们还可以运用函数知识进行常数存在性问题的求解。以下题为例，数列{an}的通项公式为an=（n+1）·0.9n，存在一个正整数N使得aN≥an且对于n恒成立，求N的数值。在解答这道题目时可以依据函数思维进行求解，由已知条件推断出an-an+1=（n+1）·0.9n-（n+2）·0.9n+1=0.9n·■。接下来进行分情况讨论，分别探讨n在小于8、大于8、等于8等三种情况下an与an+1之间的大小变化，最终得出当N为8或9时存在aN≥an对于n恒成立。

（二）依据数列性质进行具体解题。通过查阅近年来的高考数学试题资料，可以发现许多数列问题的设置主要考察我们对于数列性质的掌握情况，因此我们在日常做题时应当注重围绕数列性质进行相关知识的推理，确保能够实现知识的灵活运用。以下题为例，在等差数列{an}中存在的a3+a7=37，求a2+a4+a6+a8的值。在解答这道问题时，我们便可以从等差与等比数列的学习中进行数列性质知识点的激活，当m+n=p+q时，可以得出am+an=ap+aq。将本题所给条件带入到式子中，便可以得出3+4=2+5=1+6，则a2+a4+a6+a8=2（a3+a7）=74，最终得出计算结果为74。通过以上题目的解答，可以发现我们对数列性质的掌握情况将直接影响到作答速度与准确度，因此需要着重围绕数列的基本性质进行归纳总结，确保能够借助性质提高解题效率与正确率。

（三）利用通项公式完成数列求解。在求数列前n项的和这一类题目时，我们便可以利用通项公式的相关知识点进行问题求解，利用叠乘、叠加与构造法等方法进行通项公式的归纳，最常应用的方法主要有以下三种：

其一是错位相减法，该方法在等比数列推导等方面具有较强的应用价值，主要考察我们在面对不同问题时对于数列求解方法的灵活运用能力。以下题为例，已知数列{an}的前n项和是Qn，其中a1=1，an+1=2Qn，且n为大于零的整数，求an与Qn。在解答这道题目时，首先我们应当求出首项和公比，依据等比公式推算出a1=1，n=1，则且an=2·3n-2且n≧2，进而利用错位相减法进行Qn的计算，得出Qn=■+■·3n-2。当n取值为1时，上式成立。由此可以看出，在求等差、等比数列中前n项的和时便可以运用错位相减法进行解答，并注重在做题的过程中依据具体问题探寻解题思路与着力点，实现问题的顺利解决。

其二是分组求和法，该方法对于既非等差数列、也非等比数列的题目解答具有较强的适用性，在解答问题时先将题目中所给数列拆解成不同简易部分，降低求和的难度，在完成各项分别求和后再将各项合并，从而得出最终的数值[2]。以下题为例，已知数列an=n+2n，求an的前n项的和Sn。在解答这道题目时，可以先设定n的数值为1、2、3等任意正整数，则可推出a1=3，a2=6，a3=10，等，通过以下推导过程可以基本判断an既非等差数列也非等比数列。接下来再围绕n+2n这一项进行分析，该项中的n为等差数列，2n属于等比数列，由此可以分别假设bn=n，dn=2n，则有an=bn+cn，因此等差数列bn的前n项的和为n+■，等比数列dn的前n项的和为■，则an的前n项的和为[n+■]+■。通过解答这道题可以发现，当无法判断数列是等差数列还是等比数列时，我们可以先将数列进行拆分，灵活运用多种拆分方法将其中可以判断的部分提取出来进行求和计算，最后再将不同数列的求和结果进行相加，便可以得到最终求和结果。

其三是合并求和法，在解答复杂数列问题时具有较强的适用性。例如已知数列an，其中a1=2，a2=7，a3=5，且an+2+an=an+1，求an的前1999项的和。在解答此类问题时可以先就数列的性质进行分析，假设n的值分别为4、5、6，则a4、a5、a6的值分别为-2、-7、-5，进而得出a6m+1=2，a6m+2=7，S1998=0。由于1999=333×6+1，因此可以得出a1999=2，S1999=2。在解答此类问题时，需要我们寻找到其中存在的特殊项并将其进行合并、消减，进而可以得出最终结果。

总而言之，数列中蕴含着丰富的函数与方程思想，具有较强的综合特性，对于提高我们的数学思维能力发挥了重要的影响作用。基于此，我们更应当依托数列知识锻炼自己的思维与记忆能力，站在对比角度探讨等差、等比数列与一二次函数、指数函数之间的内在关联，归纳学习方法，进一步提高解题能力。

参考文献：

[1]曹金停.探讨高中数学数列试题的解题方法与技巧[J].数学学习与研究，2016（15）：103.

[2]张洁.浅谈高中数列中的探索问题类型及解题策略[J].数学学习与研究，2018（19）：124.