郑淑花

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确把数学思想方法纳入了九年制义务教育基础知识的范畴。数学基础知识是指：数学中的概念、性质、法则、公式、公理以及由其内容反映出来的数学思想方法。因此在数学教学中渗透数学思想是全面提高数学教学质量的重要途径。

初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本、最主要的有：转化的思想方法，数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，方程的思想方法等。

一、转化思想

转化思想是指在研究和解决数学问题时由一种数学对象转化为另一种数学对象时所采用的数学方法的指导思想。运用转化思想可以把复杂问题简单化，一般问题特殊化，从而完成数与数、形与形、数与形的转化。比如，对于多边形的性质定理的证明以及多边形的有关计算中，我们都是把多边形转化为三角形进行推理论证或计算的。再如，一元一次方程是最简单的方程，在解二元一次方程组、三元一次方程组、分式方程、一元二次方程时，都是转化为一元一次方程来解决的，无一例外都渗透着转化的数学思想。

请看下面两个简单的例子，体会其中的数学思想。

例1：已知：2a+3b-6=0求6b+4a的值。

分析：可以用转化思想将6b+4a转化为2（2a+3b）

例2：已知a，b为互不相等的实数，且满足a2+3a=7，b2+3b=7，求 + 的值。

解析：一般的方法是通过解方程a2+3a=7，b2+3b=7，求出a，b的值，再代入求值，但这种解法既繁瑣又易出错。其实，根据题意，不妨把a，b看成是一元二次方程x2+3x=7的两个实数根，利用根与系数的关系，这样问题就迎刃而解了。

二、方程思想

方程思想是指利用方程或方程组解决数学问题的指导思想。如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式关系求字母系数的取值等。在教学时，可以有意识地引导学生发现等量关系从而建立方程。如讲“用待定系数法确定二次函数解析式”时，可启发学生发现确定解析式的关键是求出各项系数，可把各项系数看成三个“未知量”，利用方程思想来解决，学生就会自觉地去找三个等量关系建立方程组。

方程思想的应用非常广泛，在众多的数学思想中显得十分重要。请看下面的例子：

某年太原市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和家庭用水各多少立方米？

分析：这是中考试题中一道简单通俗的题目。本题中所涉及的是等量关系，可以运用方程的思想来解答，本题的设置旨在培养学生方程的思想。

从以上这些简单的小例子可以观察出，方程的思想在初中数学中占据着极其重要的地位，但是只要我们弄清楚数量之间的关系，灵活运用，问题就会迎刃而解。

三、数形结合思想

数形结合思想是通过数与形的结合来研究和解决数学问题的指导思想，它可以使抽象问题具体化、形象化，使几何的图形问题数量化。例如数轴的使用，数轴是体现数形结合思想的一个重要工具。在学习“正、负数大小比较”时，由于学生在之前只是初步认识了负数，因此在总结比较的方法时比较困难，而利用数轴能很好地解决这一问题。因为实数与数轴上的点是一一对应的，因此，两个数的大小比较，可以通过这两个数在数轴上的对应点的位置关系进行。再如，在求一元一次不等式组的解集时，把求出的每个不等式的解集在数轴上表示出来，进而很形象地得到不等式组的解集。

常用的数学思想方法有很多，而数形结合思想可以将抽象的数量关系形象化，直观性强、易理解、易接受。将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并且使知识的理解更加深刻明了。

四、分类思想

分类思想是根据要求确定分类标准，然后将数学对象划分为不同种类加以研究的指导思想。对数学对象分类时应遵循两个原则：（1）在同一问题中分类按同一标准进行；（2）分类要做到不重、不漏。分类有利于对问题深入研究，发现解题思路，这对培养学生分析问题和解决问题的能力大有帮助。

初中数学中有许多体现“分类讨论”思想的知识和技能，无论在代数还是几何中都能找到。如：有理数的定义；绝对值的定义等；证明圆周角定理；一元一次不等式（组）的解法；一元二次方程根的判别式等；点、直线、圆之间的位置关系；函数图象的性质等。

看下面例题：

例1：“五一”期间，某超市推出如下购物优惠方案：

（1）一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；

（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内时一律享受九折的优惠；

（3）一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠。

在此期间某顾客一次性购物付款252元，那么该顾客比平时购买总价相同的商品（没有优惠的时候）优惠了多少元？

解析：此题中有一个不明确的地方是：顾客付款252元，那么他所购买的商品的实际价格是在300元以下，还是多于300元呢？因此应分两种情况讨论：若是享受了优惠方案（2），则商品实价为252÷0.9=280元；若是享受了优惠方案（3），则商品实价为252÷0.8=315元.

像这样的问题，一定要按可能出现的情境来分类，教学中发现学生往往会漏解。

例2：解不等式（k-1）x>k2-1

很多学生会得到x>k+1，这是错误的，应充分考虑到k-1的取值有三种不同的情况。正确的解法是：

解：当k-1>0 即k>1时，则x>k+1；

当k-1=0 即k=1时，原不等式为0·x>0，不等式无解；

当k-1<0 即k<1时，则x

综上所述：当k>1时，x>k+1；当k=1时，不等式无解；当k<1时，x

数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性。教师在教学过程中，都应有意识地突出分类讨论思想，并应用在具体情境中，让学生更好地掌握好初中数学中的分类讨论思想。

在数学教学过程中，对教材内容所反映出的数学思想，要结合教学实际予以渗透、解释和总结归纳，以提高学生的认识，逐步培养学生运用数学思想解决问题的能力。因此，我们要认真钻研教材，充分发掘提炼在教材中的数学思想和方法，并弄清每一章节主要体现的数学思想，做到心中有数。总之，数学思想、方法的教学研究是中学数学教研的一个重要课题，是提高教学质量的关键，因此必须予以重视。

编辑 郭小琴