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一类三阶微分方程多点边值问题两个正解的存在性

2018-03-05

长春师范大学学报 2018年2期
关键词:边值问题三阶不动点

高 扬

(大庆师范学院教师教育学院,黑龙江大庆 163712)

1 引言

常微分方程的边值问题在物理学和力学等领域有着重要应用.一直以来,常微分方程边值问题的正解存在性受到了广泛关注,而其中关于三阶m点边值问题的多个正解存在性的研究并不多见[1-3].

本文考虑如下的一类三阶常微分方程多点边值问题:

(1.1)

应用锥拉伸与压缩不动点定理可知,边值问题(1.1)至少存在两个正解.

为了方便起见,先做如下假设:

(H2)h:(0,1)→[0,+)连续,h(t)不恒为0,允许在t=0及1处奇异,且0

(H3)f:[0,+)→[0,+)连续.

2 引理

引理2[3]函数g(t,s),满足下面不等式

其中,

证明 由引理2及G(t,s),k(t,s)的定义可知,

P={u∈C[0,1]|u(t)≥0,t∈[0,1]},

则P是C[0,1]上的一个正锥.取

定义算子

引理4[3]若满足假设(H2)~(H3),则算子A:P1→P1是全连续的.

3 主要结果

定理1 若满足假设(H1)~(H3)且

(3.1)

(3.2)

其中,λ1是前面给出的算子T的第一特征值.

如果存在R0>0,使得

f(u)<ηR0,∀0≤u≤R0,

(3.3)

证明 由(3.1)和(3.2)可知,存在0

f(u)≥λ1u,∀0≤u≤r1,

以及r2>R0,使得

假设A在∂Br1∩P1和∂Br2∩P1上无不动点.否则结论成立.

类似引理5和引理6的证明,可得i(A,Br1∩P1,P1)=0,i(A,Br2∩P1,P1)=0.

∀u∈∂BR0∩P1,由(3.3)及引理3有

‖Au‖≤‖u‖,∀u∈∂BR0∩P1.

由引理1知

i(A,BR0∩P1,P1)=1.

因此

定理2 若满足假设(H1)~(H3),且

(3.4)

(3.5)

其中,λ1是前面给出的算子T的第一特征值.

如果存在R0>0,使得

f(u)>ηR0,∀0≤Ju≤R0.

(3.6)

假设A在∂Br1∩P1和∂Br2∩P1上无不动点.否则结论成立.

类似引理5和引理6的证明,可知

i(A,Br1∩P1,P1)=1,i(A,Br2∩P1,P1)=1.

∀u∈∂BR0∩P1,由(3.6)及引理3有

‖Au‖≥‖u‖,∀u∈∂BR0∩P1.

由引理1可知

i(A,BR0∩P1,P1)=0.

因此

[1]周韶林,薛亚娣.一类奇异三阶m点边值问题多个正解的存在性[J].西南大学学报:自然科学版,2010,32(7):22-25.

[2]吴红萍.一类非线性三阶三点边值问题的多个正解[J].贵州大学学报:自然科学版,2014,31(2):4-6.

[3]赵微.一类三阶常微分方程m点边值问题的正解存在性[J].数学的实践与认识,2013,43(20):255-259.

[4]郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科技大学出版社,2001.

[5]Zhang G,Sun J.Positive solutions of m-point boundary value problems[J].Math. Anal. Appl.,2004(291):406-418.

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