李晓龙

摘要：本文通過研究在Multiplex网络下基于鹰鸽博弈的交互演化来研究网络结构对人类社会公平演化的影响。研究发现，Multiplex网络的最大超拉普拉斯特征值决定了系统达到公平状态时自私度的临界上限和下限。同时，在计算机生成的Multiplex网络上进行了大量的数值实验，证明了理论分析的正确性。

关键词：Multiplex网络;鹰鸽博弈;超拉普拉斯矩阵;公平演化

中图分类号：TV663   文献标识码：A     文章编号：1007-9416（2018）10-0000-00

复杂网络遍布于人类社会和自然界中，扮演着重要的角色。随着网络科学的发展，研究者们逐渐认识到现实世界中不同的系统之间存在着一定的耦合关系，从而使得多层网络逐渐引起研究者们的广泛关注[1]。演化博弈理论是将经典博弈理论与自然选择理论结合的产物，为研究揭示人类社会与自然界中利他行为的产生提供了新视角。由于网络结构和博弈方式的改变会对处于其中的节点的行为产生重大影响，因此将不同博弈方式拓展到多层复杂网络的演化博弈研究上，可以更好地揭示现实世界中合作和公平的涌现机制[1]。

1 系统模型

本文考虑由M层网络，每层由N个节点组成的multiplex网络，第层的第个节点表示选手，每个选手都与层内邻居和层间邻居进行对称两人鹰鸽博弈。不损失一般性，我们假定网络的层内权重和层间权重都为。每个选手采取的混合策略为，表示选手采取策略D的概率，表示采取H策略的概率，他们的博弈收益矩阵如下：

（1）

为了简化，假定所有选手的自私度相同，表示为，故可得所有选手在每轮的归一化收益如下：

，为的列向量，表示所有选手采取D策略的概率向量，E表示的单位向量，表示以中元素为主对角元素的对角矩阵，表示multiplex网络的归一化超拉普拉斯矩阵，为其超拉普拉斯矩阵中每个元素除以此元素所在行的对角线元素， 被表示如下：

（2）

表示第层网络的拉普拉斯矩阵，表示层间网络的拉普拉斯矩阵。本文借鉴网络同步的思想[2]，采用平均一致性协议作为选手的策略更新规则，表示如下：

（3）

此处，表示选手的期望策略，同时也保证了选手的策略始终为概率向量。我们通过李雅普诺夫第一方法来判断式的稳定性，可得在平衡点且处的雅克比矩阵为：

（4）

此处，，

和。只要保证式的所有特征值均小于0，即可得系统可收敛到公平状态。由于的所有特征值均位于区间[0，2），故可得临界条件为：

（5）

则临界自私度下界为，下界为。

2 数值仿真

我们通过计算机产生的3层multiplex网络，每层网络为50个选手，且层内网络模型为BA无标度网络，仿真结果如图1（结论同样适用于WS小世界网络）。初始策略服从均值为（0，1）的随机分布。从图1中可以看出自私度的实际临界值始终位于理论预测值的上限和下限之间，从而证明了理论结果正确性。

3 结语

综上所述，在本文中我们将Multiplex网络中对称最后通牒博弈的公平演化研究扩展到Multiplex网络上的对称Hawk-Dove博弈公平演化，系统变为非线性系统。理论分析和实验验证表明，Multiplex网络的最大超拉普拉斯特征值决定了系统可以达到公平的临界自私度的上下限。

参考文献

[1] 曹崀.复杂网络上的演化博弈动力学研究[D].上海交通大学，2008.

[2]Zhang W， Yao J， Wang H O. The evolutionary ultimatum game on multiplex networks[C]// American Control Conference. IEEE， 2016：3752-3757.

Fair Evolution Research Based On The Hawk-Dove Game Under Multiplex Networks

LI Xiao-long

（Tongji University，Shanghai  201804）

Abstract：This？paper？studies？fairness？evolution？in？symmetric？Hawk-Dove？game？on？multiplex？networks？to？explore？the？impact？of？network？structure？on？the？fair？evolution？of？human？society.？It？is？found？that？the？largest？supra？laplacian？eigenvalue？of？the？multiplex？network？almost？determines？the？upper？and？lower？limits？of？the？critical？selfishness？of？reaching？fairness？for？system.？Considerable？numerical？experiments？on？computer？generated？multiplex？networks？prove？the？correctness？of？theoretical？analysis.

Keywords：multiplex？network;Hawk-Dove？game，？super？laplacian？matrix;fair？evolution