张桂梅，刘峰瑞，刘建新

1.江西省图像处理与模式识别重点实验室（南昌航空大学），南昌 330063

2.西华大学 机械工程学院，成都 610039

1 引言

图像增强是图像处理的一项重要内容，通过图像增强改善图像的视觉效果，将图像转换成更适合于人眼观察或机器分析、识别的形式。图像增强按其所处理的空间不同，可分为频域增强法和空域增强法。频域图像增强算法[1]的原理是利用傅里叶变换处理图像，再使用滤波函数对其进行处理，最后使用反傅里叶变换还原得到处理后的图像。滤波过程需要根据图像增强的目的采用低通滤波、高通滤波等手段进行处理，使用的函数需要根据应用场景选择[2]。Guillon等人[3]基于自适应滤波器掩模，将非线性低通和高通滤波器结合，对图像同时进行噪声消除和增强处理。空域图像增强方法是直接作用于图像中的像素点，以此来增强图像的对比度和亮度，从而改善图像的视觉效果。空域增强法可分为灰度变换增强法和空间滤波增强法。灰度变换增强法是对像素点处理的方法，典型的有直方图均衡化，空间滤波增强等。直方图均衡化完全“自动”，计算简单，但由于是对整幅图像进行全局处理从而导致细节丢失、局部增强不足或过增强现象，且易放大图像中的噪声[4]；空间滤波增强法是通过对图像像素进行卷积操作，并逐个像素的移动掩模来完成整幅图像的增强。例如中值滤波，中值滤波由于可对噪声起到良好的平滑效果，但对保留图像的边缘等高频部分的作用较小[5]。Laplace二阶微分算子[6]对图像锐化时，会造成低频分量信息有所损失。无论是空域还是频域方法都不能很好地解决在增强图像的高频分量的同时保留图像的低频分量之间的矛盾。

分数阶微分是整数阶微分运算的推广，在对分数阶微分理论的研究中发现，分数阶微分具有“弱导数”性质[7-9]，即分数阶微分能大幅度提升信号的高频分量，同时非线性地保留信号中的中低频分量。将分数阶微分用于图像增强中，可以使图像的边缘明显增强，纹理细节更加清晰，并且非线性保留图像中的平滑区域信息[10]。基于此分数阶微分在图像增强技术中得到广泛应用。文献[11]从经典的分数阶微分Grünwald-Letnikov（G-L）定义出发，推导出分数阶差分方程，构建了近似的Tiansi微分算子，并证明该算子增强图像的视觉效果明显优于传统的整数阶算子增强方法，但是寻求增强图像效果最好时的最佳阶次，需要耗费时间，缺乏阶次自适应性。文献[12]根据二维数字图像具有自相关性，为了充分利用邻近像素点的信息，推导出基于分数阶微分Rieman-Liouville（R-L）定义的模板系数，构造了八个方向的分数阶图像增强模板，但该方法对于阶次的选择也缺乏自适应性。文献[13]针对目前只能通过人为实验指定最佳分数阶微分阶次的现状，为了节省人工寻求最佳分数阶微分阶次的时间，根据图像梯度特征和人眼视觉特性等理论，提出了能够自动生成分数阶微分阶次的新方法，但是该算法对阶次自适应性没有结合图像的局部统计信息。文献[14]提出了一种可变阶次的分数阶微分图像增强算子，结合图像中的局部信息熵值、粗糙度来调整分数阶微分阶次，对图像的增强取得一定的效果，但是阶次自适应函数的选取不是很合理，同时选取的图像的局部统计信息量较少。

为了节约人工寻求最佳分数阶微分阶次的时间，同时结合图像的局部统计信息来设定微分阶次，使每一个像素点在图像与掩模的卷积过程都对应不用的阶次。本文构造了分数阶微分阶次自适应模型，用反正切函数使微分阶次与图像局部信息（图像梯度、信息熵、对比度和亮度）结合起来，并使微分阶次在图像增强一直处于变动中，从而增强掩模也一直处于变动中，即所构造的模板为动态模板。

2 相关理论

2.1 分数阶微分对信号的作用

对于任一能量型函数f(t)∈L2(R)，其Fourier变换[15]为

假设 f(t)的整数n阶导数为 fn(t)，n∈Z，可以表示为：

将上式中的整数阶n推广到分数阶v，则f(t)的分数阶v阶导数为 fv(t)，v∈R+，则其v阶Fourier的变换为：

根据式（2）和式（3），可以绘制出分数阶微分在阶次v=0.1,v=0.3,v=0.7,v=1,v=2时的幅频特性曲线，如图1所示。

图1 分数阶微分对信号的幅频特性曲线

从图1中可以看出分数阶微分对信号的高频具有提升作用，且提升幅度随频率和分数阶微分阶次的增加呈非线性急速增长；同时对信号的中低频进行了保留。对于一幅图像，平滑区域对应于信号的低频；纹理区域对应于信号的中频；边缘和噪声对应于信号的高频。也即是分数阶微分可以实现图像的锐化；在实现图像的锐化过程中，利用分数阶微分的非线性特性，选择适当的微分阶次，可以大幅提升图像边缘和加强纹理细节、非线性保留平滑区域和避免产生较大的噪声。本部分将为分数阶微分阶次的选择范围、自适应函数模型的构建提供理论依据。

2.2 Tiansi算子

分数阶微分Grünwald-Letnikov（G-L）定义来源于经典的整数阶次微分，把微分的阶次从整数扩展到分数。即

若一元信号f(t)的持续期为t∈[a,t]，按单位h=1进行等分，可以得到推导出一元信号的分数阶微分差分表达式：

一般来说，在M×N的图像上，用m×n大小的滤波器掩模进行线性滤波。

其中a=(m-1)/2且b=(n-1)/2。为了得到一幅完整的滤波后图像，必须对x=0,1,2,…,M-1和 y=0,1,2,…,N-1依次应用式（6）进行滤波，在8个对称的方向上[11]分别进行微分运算。根据公式（5）可以得出差分式的前n项系数，并可以构造出各向同性滤波器，如图2所示。图2是大小为(2n+1)×(2n+1)的八方向分数阶微分掩模，对于模板中非8个方向的值为0，此算子被称为Tiansi算子[11]。由于本文选择的微分算子是Tiansi算子，所以本部分将为第3章中分数阶微分图像增强掩模的选取提供理论依据。

图2 (2n+1)×(2n+1)的八方向分数阶微分掩模

3 分数阶微分阶次自适应函数模型的构建

3.1 分数阶微分图像增强掩模的选取

从分数阶微分对信号的幅频特性曲线图中可以看出，分数阶微分对图像具有锐化作用，在锐化图像中，不仅可以提升图像中的高频信息，还可以保留图像中的中低频信息。Tiansi算子是在文献[11]中提出的，通过分数阶微分Tiansi算子与图像进行卷积运算，使图像边缘特征明显突出、纹理细节更加清晰和平滑区域信息得以相对保留，从而提高了图像的视觉清晰度。为了验证本文构建的微分阶次自适应模型的有效性，选最经典的Tiansi算子[11]作为本文的分数阶微分掩模。

图2为(2n+1)×(2n+1)的Tiansi算子，随着n值变动模板的尺寸也在变动。由于在数字图像中，相邻像素点之间的灰度值具有高度的自相似性，在图像中表现为纹理信息、边缘信息和平滑信息。若模板尺寸过小则没有充分利用目标像素点邻近区域的图像信息；而模板尺寸过大，往往对图像造成过度平滑，且增加了计算量，此外较远的像素点对目标像素点的影响也较小。综合考虑这两个因素，本文采用大小为5×5的Tiansi算子。将Tiansi算子归一化后的5×5掩模模板，如图3所示，其中：

图3 5×5分数阶微分模板

3.2 图像增强微分阶次自适应模型的构造

3.2.1 与阶次相关的图像信息的选择

为了构造自适应微分阶次的数学模型，需要根据图像的局部特征信息自动计算图像中每个像素点的最佳阶次。图像梯度反映了图像灰度在空间上的变化率，表现在图像上梯度大处像素变化明显；梯度变化小处，图像则变化平缓；灰度相同区域，则梯度为零。图像梯度实际是纹理的一个量化反映。图像信息熵反映图像纹理信息的丰富程度[16]。因此，在图像的边缘具有更大的图像信息熵，反之在图像平滑区域和纹理区域信息熵更小。图像的亮度和对比度，可以测量图像中局部的灰度变化，相当于从人眼视觉的一个角度来评判。图像的亮度和对比度越大，图像的此块区域越可能为边缘；亮度和对比度值越小，越可能为纹理区域和平滑区域。用均值来估计亮度，用标准差来估计对比度[17]。基于上述原因本文选取了4个与阶次相关的图像信息，分别为图像梯度、图像信息熵、图像对比度、图像亮度。其具体定义和计算公式如下。

定义1图像I在某像素点(x,y)上的梯度是一个二维列向量[18]，可以表示图像中像素点灰度值变化率。因此，在图像的边缘具有较大的梯度，而图像平滑区域和纹理区域的梯度则相对较小。定义为：

向量G[I(x,y)]的模值为：

在计算过程中，为简便运算，定义梯度模值为：

定义2信息熵是一种信息量的度量，反应图像纹理信息的丰富程度[16]。因此，在图像的边缘具有更大的图像信息熵，而在图像平滑区域和纹理区域信息熵则更小。其定义为：

其中S信息熵值，i,j为像素坐标，Iij为灰度值，Pij在模板内相同灰度值的概率。

定义3图像的亮度和对比度，可以测量图像中局部的灰度变化。相当于从人眼视觉的一个角度来评判。图像的亮度和对比度越大，图像的此块区域越可能为边缘；亮度和对比度值越小，越可能为纹理区域和平滑区域。用均值来估计亮度，用标准差来估计对比度[17]。其定义为：

3.2.2 构建分数阶阶次自适应数学模型

由3.2.1小节定义1～定义3分析可以得知，图像某处的梯度、信息熵、对比度和亮度值越大，则该区域为边缘区域可能性越大；反之4个信息值越小，该区域越可能为图像的纹理区域或平滑区域；对于一幅图像，纹理区域和平滑区域对应于信号的中低频；边缘和噪声对应于信号的高频，也即是某区域上述四个图像信息越大，该区域越可能为高频区域，反之越可能为中低频区域。

从图1中的幅频特性曲线可知分数阶微分算子可以提升信号的高频，非线性地保留信号的中低频；在提升信号高频成分时，提升幅度随着分数阶微分阶次的增加呈非线性急速增长，也即是阶次越大，提升的幅度就越大；在保留信号中的中低频成分时，提升幅度分数阶微分阶次的增加呈非线性衰减，也即是阶次越大，保留的幅度就越小。总的来说，高频区域的提升，要选择大的阶次；中低频区域的提升，要选择小的阶次。反映到数字图像上，在Tiansi算子增强图像的时候，边缘区域要选择大的阶次，纹理和平滑区域要选择小的阶次；据此说明图像某区域处的4个图像信息值越大，该区域应对应选择较大的阶次，反之则应选则的较小的阶次进行处理。由此分析可知，分数阶次可以根据所选取的4个信息值的变化按照一定的规律自适应的变化，且分数微分阶次随图像信息值的增大而增大。

因此分数阶阶次与图像的梯度模值、信息熵、对比度和亮度有关。由此构造函数并结合图像的是4种信息，将图像的4种信息进行归一化，并将归一化的信息特征进行融合，即使0≤G≤1，0≤S≤1，0≤ ||B ≤1，0≤C≤1，k1,k2,k3,k4为各个信息值所占的权重。

从图1中可以看出阶次为0时，对信号没有增强效果；阶次大于1时，对信号的中低频成分（0＜w＜1）提升的幅度偏低，也即是对图像的纹理区域增强不明显。由于本文的目的是增强图像中纹理细节，所以希望微分阶次在（0，1）之间，由于自适应函数的计算出的阶次要随着图像的信息值单调递增，同时又希望阶次在（0，1）之间，而如图4所示的反正切函数正好能满足这个要求，所以本文选择反正切函数为原型构造自适应分数阶模型，自适应函数定义为：式（17）中v为分数阶阶次，m和b为常数。又由于当f为1时，该像素点一定位于图像的边缘区域，此时应选择较大的阶次，即v=1；f为0时，该像素点一定位于图像的平滑区域，此时应选择较小的阶次，即v=0。于是可得如下方程：

图4 反正切函数图像

3.3 算法步骤

故所构造的自适应分数阶模型为：

步骤1输入待增强的图像，若图像为非灰度图像，则将其转换为灰度图像。

步骤2根据公式（11）～（14）计算图像的梯度值、局部信息熵值和对比度值和亮度值，并根据公式（15）、（16）计算融合后的图像局部信息值。

步骤3将局部特征信息代入公式（19）中，计算图像中各个像素点的阶次。

步骤4用阶次自适应函数v与Tiansi算子中5×5掩模模板相结合，构成微分阶次自适应掩模，即根据公式（8）和图3构造分数阶微分模板。

步骤5应用微分阶次自适应掩模与原图像进行卷积操作，得到增强图像。

4 仿真实验

4.1 实验环境

本文实验所采用的计算机环境为：Intel®Core™i5 CPU 650@3.20 GHz，内存4.00 GB，操作系统系统为Windows 7，程序采用使用Matlab R2010a实验。选取如图5所示的4幅图像进行实验测试。图5（a）和（b）的Lena和Barbara图像分别是标准图像库中的图像，均具有较丰富的纹理细节，图5（c）和（d）分别为两幅岩石图像，其中岩石1的纹理细节较为丰富，岩石2图像的纹理边缘和平滑区域较为突出。

图5 实验图像

4.2 评价准则

在本文的图像增强实验中，对实验结果分别进行了定性分析和定量分析。定性分析是对图像的平滑纹区域、纹理区域和边缘区域从视觉角度进行分析，同时比较增强后的图像与原图的残差图；在定量分析中选取了图像的信息熵[16]、平均梯度[19]、清晰度和对比度作为评价指标。

（1）图像信息熵，呈现了图像中平均信息量的大小，图像的一维熵可以说明图像中灰度分布的聚集性所含有的信息量。反应图像纹理信息的丰富程度，其计算公式如式（12）。

（2）平均梯度，指图像中每一个像素值与其邻域像素值的一阶差分的加权和，其能够较好地反映图像边缘特性和灰度变化率。用于衡量图像的细节反差和纹理特征，计算公式为：

（3）清晰度，是衡量图像质量的最重要的标准之一，图像的清晰度高，图像中人物轮廓就比较清晰；清晰度低，图像中的人物轮廓就不清晰。可用于衡量图像上各局部细节及其边界的清晰程度，计算公式为：

式中，D为清晰度，Ix(i,j)和Iy(i,j)表示图像I在x和y方向的导数。

（4）对比度，指的是一幅图像中明暗区域最亮的白和最暗的黑之间不同亮度层级的测量，亮度层及差异范围越大代表对比度越大，差异范围越小代表对比度越小。可以用来测量图像中局部的灰度变化。计算公式为：

式中，T为对比度，μ为图像I的均值，σ2为图像I的方差。

4.3 实验结果和分析

对图5所示的4幅实验图像用本文提出的自适应微分阶次模板进行增强实验，由于本文是在Tiansi微分算子模板的基础上开展工作的，所以将本文方法与Tiansi算子在效果较好的2个固定阶次（阶次为0.3和0.7）进行比较，此外由于典型的整数二阶微分算子Laplacian算子是公认的效果较好的图像增强算子，故也与Laplacian算子进行对比，并进行定性分析和定量分析。

4.3.1 实验结果的定性分析

对Lena图像分别用本文的方法、Tiansi算子（两个效果较好的固定阶次）和Laplacian算子进行实验，增强后的效果图如图6所示，图6（a）和图6（b）分别为Tiansi算子固定阶次为0.3、0.7时的增强图，图6（c）为拉普拉斯算子的增强图，图6（d）为本文算法的增强图。从图6可以看出：图6（a）不管是在头发的纹理区域还是帽子上面的平滑区域都没有得到明显的增强；图（b）的Lena图像周围的平滑区域出现了过度锐化现象；图（c）中整幅图像增强的效果不是很明显，特别是在头发等纹理区域，这也证明了分数微分算子（Tiansi算子）比整数阶算子的增强效果要好；图（d）为本文算法的增强效果图，不仅在头发和眼睛等纹理区域得到明显的增强，脸部等平滑区域也没有出现过度锐化现象，整幅图像的增强效果比较明显的。为了方便观察，进一步用增强后的图像与原始输入图像的残差图像进行对比，如果增强效果较弱，则残差图像中黑色区域居多；增强效果较强的，则残差图像中白色居多，从如图7所示的残差图像中可以明显看出本文算法的增强效果比较显著。

图6 Lena图像的增强效果图

图7 Lena残差图像

为了验证本算法在纹理区域的增强效果，本文选择纹理丰富的Barbara图像重复上述实验，实验结果如图8所示，在该图像中包含较多纹理丰富的区域，如图8中的桌布、披肩、裤子、头发等都是纹理丰富的区域。图8中（a）、（b）分别为固定阶次为0.3、0.7时的增强图，（c）为拉普拉斯算子的增强图，（d）为本文算法的增强图。在4幅增强图中可以看出本文的算法视觉效果最好，既没有图8（a）中的增强不足，也不像图8（b）、图8（c）的过度锐化。从4幅残差图中可以发现本文算法的残差图最为清晰，这也表明了本文算法的增强效果最好。

图8 Barbara图像的增强效果图

图9 Barbara残差图像

为了进一步验证本文模型的有效性，再次选择了两幅纹理丰富的岩石图像（岩石1和岩石2），实验结果如图10～图13。从图10可以看出Tiansi算子在阶次为0.7时整幅图像出现过度锐化现象，图像已经失真，在阶次为0.3增强效果有些不足，但此时纹理区域的增强效果较好，Laplacian算子增强后的图也出现了失真现象。图10（d）增强后的图更加清晰，锐化的效果也很明显。从图11的残差图中也可以发现本文模型增强比较均衡，效果较明显。

图10 岩石1图像的增强效果图

图11 岩石1残差图像

图12 岩石2图像的增强效果图

图13 岩石2残差图像

岩石2图像比岩石1图像较为光滑，平滑区域较多，且分布比较分散。从4幅增强后的图像可以看出图12（a）图的增强效果不明显，增强不足；图12（c）图也出现了增强不足现象；图12（b）和图12（d）图增强效果较好，从视觉效果看不出很大的差别，但比较其残差图可以看出本文方法的残差图像白色居多，表明其增强效果最好，锐化效果也比较明显。

4.3.2 实验结果的定量析

为了进一步验证本文模型的有效性，进行了定量分析，表1～表4为4幅实验图片增强后的图像以及原输入图像的信息熵、平均梯度、清晰度和对比度数值。

从表1中可以看出Lena图像用本文算法增强后的图像，其熵值虽然没有达到最高，但是相比于原图熵值得到了提升，这是因为Lena图像纹理不是很丰富；岩石2图像的纹理比较丰富，本文算法增强后信息熵与原图相比，有较大提升，并且比Tiansi算子阶次为0.7时、Laplacian算子也有提升，但比Tiansi算子阶次为0.3时的信息熵略小；对于Barbara图像和岩石1图像用本文算法增强后图像的熵值达到了最高，因此本文算法对于纹理越丰富的图像，增强效果越好。

表1 图像信息熵值的对比

表2 图像平均梯度的对比

表3 图像清晰度的对比

表4 图像对比度的对比

从表2中可以看出Tiansi算子、拉普拉斯算子和本文算法的增强图的平均梯度都得到了提升，但是本文算法对于图像平均梯度的提升是最大的，从3.2.2小节的分析中可以得知在图像增强中，边缘区域要选择大的阶次，纹理和平滑区域要选择小的阶次，本文算法选取的自适应函数刚好能满足这个要求，从图1中可以看出通过自适应函数选取的阶次，图像不管是在纹理区域还是在图像边缘提升的幅度都能达到最大，使图像在各个区域的梯度值都达到最大，从而使图像整体的平均梯度值较大，而Tiansi算子、拉普拉斯算子增强的图像达不到这个要求，所以本文算法增强的图像的平均梯度值最大。从而表明了本文算法对真实纹理图像和标准纹理图像增强效果都比较明显。

表3是图像清晰度值的对比，图像清晰度是用于衡量图像上各局部细节及其边界的清晰程度，从表3中可以看出本文算法在4组图像增强中，图像清晰度上的提升是最大的，也即表明用本文算法的增强后的图像在纹理细节及边界处均最清晰，这是由于本文算法的增强图在纹理区域和边缘区域增强的梯度幅值是最大的，所以增强后的图像清晰度与用相比较的算子增强后图像的清晰度达到了最大值，从而进一步证明了本文算法的有效性。

从表4中可以看到在4幅实验图像的增强实验中，本文算法只有在岩石1图像中的对比度没达到最大，但是相对于原图，对比度也得到了较大的提升，其他3幅图像中对比度都达到了最大。岩石1图像的对比度没达到最大，是因为从视觉角度看在岩石1图像中Tiansi算子（v=0.7）、拉普拉斯算子增强的图像出现过度锐化，从而导致图像的对比度变大；本文算法的增强图既没有出现过度锐化也没有出现增强不足现象，所以本文算法的增强效果理想。

综合上述4种定量评价指标，可以得出本文算法的图像增强效果比较显著，这是因为本文根据图像的局部统计信息构造了自适应分数阶微分阶次的数学模型，该模型可以根据图像中各像素点的局部特征信息自动计算其最佳阶次，并与Tiansi算子模板相结合，使图像的增强效果达到最佳，且对纹理越丰富的图像，其增强效果越好。从而证明了本文提出的分数阶微分阶次自适应模型的有效性。

5 结论

本文基于图像的梯度模值、信息熵、亮度和对比度，以反正切函数为原型，构造了自适应分数阶阶次的数学模型，自动自适应计算整幅图像中各个像素点的阶次，同时设计了基于该分数阶微分阶次的算子掩模。该方法可以根据图像中各个像素点的局部特征信息自适应地调节算子掩模系数，对各个像素点采用相应的掩模模板进行处理。解决了人工寻找最佳分数阶微分阶次的费时费力的问题，同时也提高了图像增强的精度。今后的研究工作将进一步优化自适应数学模型，提高运算速度，进而提高图像增强的效率。

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