刘红梅, 秦艳杰

(大连民族大学 理学院，辽宁 大连 116650)

1 预 备

对|q|<1，基本超几何级数定义为[1]

式中：bj≠q-n(j=1,2,…,s),(x1,x2,…,xr;q)n=(x1;q)n(x2;q)n…(xr;q)n为升阶乘乘积，其中的因子为升阶乘，定义为

q-Kampé de Fériet函数是Kampé de Fériet函数的q-模拟，是双变量基本超几何级数，在1985年由Srivastava和Karlsson给出定义[2]

式中：|x|<1；|y|<1；|q|<1；i,j,k∈0。当λ=μ=r=s=1,u=v=0时，

式中：Φ(1)为相对常见的第一类q-Appell函数见文献[1]283和[3]232。

2 基于Jackson变换的简化公式

Jackson变换公式为

(1)

定理1Ω(m)为任意复数序列，假设下列级数都绝对收敛，有变换公式

(2)

(3)

证明利用式(1)，计算式(2)

(4)

在式(4)中，令m+n=N，化简，可推导出式(3)。

推论1 假设下列级数都绝对收敛，有关q-KampédeFériet函数的简化公式成立。

(5)

(6)

证明在定理1中，令Ω(m)=1，由q-二项式定理(见文献[1]中公式(1.3.2))得

(7)

可得计算式(3)的内部求和公式为

经过化简可以得到简化公式(5)。

(8)

计算式(3)的内和，经过化简立即可得公式(6),这个公式正好是文献[9]中公式(2.2)的q-模拟。

3 基于Heine变换的简化和求和公式

在这一节中，通过应用Heine的三个变换公式，又建立了三个一般的双重q-级数变换和一些简化公式。

首先，将定理1证明中的Jackson公式(1)替换为Heine变换公式(见文献[1]中公式(1.4.1)，也可见文献[10]中公式(E3.1a))

得到级数变换公式定理3。

定理2 对于任意复数序列Ω(m)，假设级数都绝对收敛，则

(9)

推论2 假设级数都绝对收敛，有求和与简化公式

(10)

(11)

(12)

(13)

最后一个等式是来自q-二项式公式(7)，求和公式(10)得证。

定理2中令

并通过q-Pfaff-Saalschütz求和定理(见文献[1]中公式(1.7.2))得

对式(7)中内部的和式进行计算，然后进行一些化简，得到简化公式(11)。

在定理2中令

然后利用求和公式(见文献[1]中例2.14)

(14)

计算式(9)中内部和式，推导出另一个简化公式(12)。另外，在定理2中令

并用公式(见文献[1]中公式(3.10.9))

(15)

计算式(9)的内部和式，得到了式(13)。

式(10)等号右边的式子与参数β和ε无关，这个求和公式可以在式(5)中直接令x=εy获得。

其次，运用Heine的q-欧拉变换 (见文献[1]中公式(1.4.3)或文献[1]中公式(E3.1c))得

(16)

有如下双重q-级数变换公式。

定理3 对于任意复数序列Ω(m),设级数都绝对收敛，有

(17)

(18)

证明重新计算式(17)，

运用公式(16)，并经过一些化简，可得式(18)。

推论3 设级数都绝对收敛，有简化公式

(19)

(20)

最后，给出第三个Heine变换(见文献[10]中公式(e3.1b))，

(21)

类似于定理2和定理3的证明，通过Heine变换式(21)，得到了第三个变换公式。

定理4 对于任意复数序列Ω(m),设级数都绝对收敛，有

(22)

(23)

推论4 设级数都绝对收敛，有

(24)

(25)

(26)

然后经过一些化简，得到简化公式(24)。

在定理4中令

在式(23)中分别利用式(14)和(15)，可以得到另外两个简化公式(25)和(26)。

[1] GASPER G, RAHMAN M. Basic Hypergeometric Series [M]. second ed., Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004.

[2] SRIVASTAVA H M, KARLSSON P W. Multiple Gaussian Hypergeometric Series [M]. New York: Halsted Press, 1985.

[3] SLATER L J. Generalized Hypergeometric Functions [M]. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1966.

[5] JIA C Z, WANG T M. Reduction and transformation formulae for bivariate basic hypergeometric series [J]. J. Math. Anal. Appl., 2007, 328: 1152-1160.

[6] CHU W C, JIA C Z. Transformation and reduction formulae for doubleq-Clausen hypergeometric series [J]. Math. Methods Appl. Sci., 2008, 31: 1-17.

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[9] CVIJOVIC′D , MILLER A R. A reduction formula for the Kampé de Fériet function [J]. Appl. Math. Lett., 2010, 23:769-771.

[10] CHU W C , CLAUDIO L D. Classical Partition Identities and Basic Hypergeometric Series [M].Lecce-Italia: Università di Lecce, 2004.