赵宇杰 石海丽 赵彦敏 高楠 兰州城市学院电子与信息工程学院

1 绪论

图像是人们获取信息的主要形式之一，要对图像进行有效和快速的处理和分析，可采用空间变换、傅里叶变换、离散余弦变换等间接处理技术，能够减少计算量、提高效率。本文阐述了数字图像的离散傅里叶变换的基本原理，并用Matlab来实现数字图像的频域正变换、低通或高通滤波和频域逆变换。

2 数字图像的离散傅里叶变换及应用

2.1 原理

利用离散傅里叶变换（DFT），对数字图像的信号实现从空间域到频率域的变换，使数字信号处理中常用的频域处理技术能够直接应用于数字图像的处理，能够大大拓展图像处理的思想和方法。假设表示一幅经过均匀采样并进行灰度量化后的M行N列的二维数字图像的离散函数（即灰度分布函数），其DFT定义为

其反变换为

2.2 应用实例

以提高图像清晰度、改善图像视觉效果为目的的图像增强技术，能够使图像转化成一种更适合人工观察或机器分析的形式[2]。图像增强技术有两类方法：空间域法和频率域法。空间域法是在空间域中对数字图像的像素灰度值直接进行运算处理；而频率域法是在数字图像先进行某种变换域，再对变换值进行运算。本文中采用频率域法，先对图像进行DFT，再对图像频谱进行滤波，然后将滤波后的变换值反变换到空间域，最终得到被增强的图像。

巴特沃思低通滤波器的低通效果比较理想[3]。下面是采用巴特沃思低通滤波器进行图像增强的实例，依次使用Matlab的imread、rgb2gray、double、fft2、ifft2等进行图像数据读取并将其转换成灰度图像、数据类型转换、FFT正变换、滤波和反变换得到图1所示的结果。若原图像的灰度为突变状态，则经过FFT正变换后在频域中得到高频分量；若灰度的变化比较平缓，经过FFT正变换后在频域中得到低频分量[4]。原图像中的老人脸上布满皱纹，增强后的图像中皱纹不再明显。从一幅尖锐的原始图像产生平滑、柔和的外观，这就是图像平滑的过程，但此时图像的边缘清晰度可能会降低，图像变模糊的实质是高频分量被衰减。

图1 采用低通滤波的变换效果

上面的实例通过衰减DFT的高频成分使图像变模糊。对低通滤波进行“反操作”（即高通滤波）的过程，能够使图像锐化化，突出图像的边缘信息，是原其图像轮廓特征得到，这种处理与图像平滑正好相反。由于高通滤波可以增强图像的边缘和轮廓，可视为一种特殊的图像增强操作[5]。下面为采用巴特沃思高通滤波器进行图像增强的实例，处理效果如图2所示。图像中的汽车、树木和房屋经过处理滤去了低频分量后只显示原图像的边缘信息，突出了整体轮廓。

图2 采用高通滤波的变换效果

从上述图示效果来看，DFT的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为频率分布函数，而反变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数，低通滤波和高通滤波在正变换和反变换之间作用于图像灰度值，实质上是作用于图像的频率。

3 结论

通过分析上述两次图像处理的效果，可以看出数字图像的灰度反映了图像频率，灰度突变对应于高频分量，而灰度变化缓慢对应于低频分量。低通滤波能够削弱图像的高频分量，平滑了图像信号，同时有可能使区域边界变模糊；而高通滤波通过增强高频成分来减少模糊，会使模糊的边缘部分得到增强。这就是用DFT进行图像平滑和边缘提取的依据。

[1]赵小川，何灏，缪远诚.MATLAB数字图像处理实践[M].北京：机械工业出版社，2013：42-75.

[2]徐献灵，林弈水.Matlab在图像处理中的应用[J].现代计算机，2008，283：66-69.

[3]郝强，赵何明，张毅.基于MATLAB的数字图像处理技术与应用[J].河北农机，2014，（11）：44-46.

[4]王斌.MATLAB实现数字图像增强处理[J].佳木斯大学学报（自然科学版），2005，23（1）：31-34.

[5]于殿泓.图像检测与处理技术[M].西安:西安电子科技大学出版社，2006：110-123.