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用均值不等式 求条件最值题

2018-01-27张世林田金政

高中生学习·高二版 2017年12期
关键词:模拟题正数题意

张世林++田金政

高考题和各地的模拟题经常涉及多元函数的条件最值问题,这类问题对考生的能力要求较高,稍不注意就会产生错误. 为此,本文将这类问题的常见求解策略举例分析如下.

直接放缩

直接对条件求解式利用均值不等式进行放缩,此时应特别注意等号成立的条件.

例1 (1)若,,则的最小值为____________.

(2)已知正数满足,试求,的范围.

解析 (1)∵,

∴.

∴,或.

∵,

∴.

(2)方法一:∵,,

.

解得,.

当且仅当,,即时,等号成立.

故的取值范围是.

又,

解得,.

当且仅当即,等号成立.

故的取值范围是

方法二:∵,,

,且.

则.

∵,即.

.

当且仅当时,等号成立.

故的取值范围是.

当且仅当时,等号成立.

故的取值范围是.

点评 第(2)问中,方法一是换元与放缩的结合,方法二是减元与函数思想的结合.

合理配凑

将已知等式合理变形、恰当配凑,使之能用条件且保证和(或积)为常数,其间渗透着换元的思想.

例2 (1)已知,,且,则的最大值为 .

(2)已知,,,则的最小值是( )

A. 3 B. 4

C. D.

解析 (1)由题意得,

.

则.

(2)因为,

所以.

整理得,.

即.

又,.

当且仅当时,等号成立.

答案 (1) (2)B

“1”的代换与消元

例3 已知正数满足,求的最小值.

解析 方法1: (均值不等式法)由得,

.

当且仅当即时,等号成立.

故此函数的最小值是18.

方法2:(消元法)由得,

又,即

,故

.

当且仅当,即时,等号成立.

故此函数的最小值是18.

例4 已知两正数满足,求的最小值.

错解一 因为对,恒有.

从而.

所以的最小值是4.

错解二 由题意得,.

所以的最小值是.

分析 错解一中,等号成立的条件是,且相矛盾. 错解二中,等号成立的条件是,这与相矛盾.

正解 由题意得,

=

.

令, 则.

因为在上单调递减,

故当时,有最小值.

所以当时,有最小值.

挖掘隐含条件

例5 已知是不相等的正数,且,则的取值范围是( )

A. B.

C. D.

解析 由得,

.

于是.

解得,.

答案 B

点评 本题容易漏掉这个隐含条件而误选A.endprint

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