我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。

一、圆锥曲线的性质

1. 圆锥曲线焦点位置的判断

（1）椭圆：由，分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 （答：）

（2）双曲线：由，项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

2. 椭圆的性质

定义1平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。即：│PF1│+│PF2│=2a。

定义2 椭圆的第二定义，准线方程及离心率。

动点M（x，y）与定点F（-c，0）的距离和它到定直线L： x=-的距离的比是常数，（a>c>0）时，M点的轨迹即为椭圆。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e（0

定理1 设AB是椭圆的右焦点弦，准线与x轴的交点为，则小于。

定理2 设椭圆与一过交点的直线交于A（x，y），B（x，y）两点，则│AB│称为弦，且│AB│=│x-x│。

定理3 设椭圆与一过交点且垂直于长轴的直线交于A，B，两点，则│AB│称为通径，│AB│=。

3. 双曲线的性质

定义1 平面内一动点P与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线. 即=2a，标准方程为。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.。通常│F1F2│记为2c， 正常数记为2a.。

定义2 双曲线的第二定义，准线方程及离心率。

动点M（x，y）与定点F（-c，0）的距离和它到定直线L： x=-的距离的比是常数，（a>c>0）时，M点的轨迹即为双曲线。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e （0定理1 渐近线是双曲线特有的性质，即无限接近但不可以相交，当焦点在x轴上时，双曲线渐近线的方程是y=x；当焦点在y轴上时，双曲线渐近线的方程是y=x。

定理2 当半实轴长=半虚轴长（即a=b，）时，双曲线称为等轴双曲线，渐近线方程为y=x，其标准方程为x^2-y^2=C，其中C≠0；离心率e=

4. 抛物线的性质

定义1 平面内与一个定点F和一条直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线焦点，直线l叫做抛物线准线。

定义2。定点F不在定直线l上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值离心率e不同，当e=1时为抛物线，当01时为双曲线。

定理1 抛物线的过焦点的所有弦中，以抛物线的通经为最短。

定理2 设AB是抛物线的长为m的动弦，则

（1） 当（通径长）时，AB的中点M到x轴的距离的最小值为；

（2） 当（通径长）时，AB的中点M到x轴的距离的最小值为。

定理3 抛物线焦点弦：设过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A（x，y2），B（x，y2）两点，直线OA与OB的斜率分别为k1，k2，直线l的倾斜角为a，则有x1，y2=-，x1，x2=，k1，k2=-，=，=，=，=++p。

例1. （1）已知一抛物线的标准方程是，则求此抛物线的准线方程及它的焦点坐标；

（2）已知抛物线的焦点坐标是 ，求它的标准方程。

解：（1）因为，所以准线方程是.焦点坐标是，

（2）由题可知所求抛物线的焦点在轴负半轴上，且，，则所求的抛物线的标准方程就为

二、圆锥曲线在生活中的应用

圆锥曲线是描述各大星系围绕运行的曲线，也是现实当中随处可见的曲线，再者圆锥曲线的光学性质在日常生活当中运用甚多。

例2 如图，我国年月日发射的第一颗人造地球卫星——“东方红”号，是以地心为一个焦点的椭圆。已知人造地球卫星的近地点（距地面最为近的点）与地面之间的距离为，远地点（距地面的距离最近的点）与地面之间的距离为，且、、都在同一直线上，地球半径大约是，求卫星运行的轨道方程（精确到）.[图1

]

解：如图1建立直角坐标系，让点、、在轴上，且为椭圆的右焦点（则记为左焦点）。

由于椭圆的焦点在轴上，则假设它的标准方程为：

则，

.

解：，.

所以b===

用计算器求得，因此，卫星的轨道方程是

三、圆锥曲线的光学性质和应用

一只灯泡散出的光，会以灯光为点形成球形射出，然而，灯泡装在手电筒里以后适当的调节，就能射出一束比较强的平行光线，这到底由什么原理组成的呢？

其实在电筒离得小灯泡的身后就有一面反光镜，这面镜反光镜的镜面的形状是一个由我们如上所述抛物线的原理，即绕着它的轴旋转[图2] 而得到的一個曲面【8】（如图2所示）这个面就被称为抛物面。经证明，抛物线有一重要的性质即从焦点射发出的光线，在经抛物面反射后，其反射光线就会平行于抛物线的对称轴。探照灯也是利用这个原理设计的。

同样的道理我们运用抛物线的这个性质理论，都可让一束抛物线的轴的光线且是平行与抛物线的，它在经抛物面的反射候会集中于它的焦点上。在生活中这个原理也被人们应用来设计了一种可以为食物加热的太阳灶。就是在太阳灶上面安装了一个形如旋转抛物面的一面反光镜，在太阳光和这面反光镜的轴平行的时候，经过反射的太阳光会集中于它的焦点出，此时这个位置的温度就会逐渐变得很高。

双曲线和椭圆的光学性质与抛物线的光学性质之间是有一些不同的。由双曲线的一个焦点所发出的光线在经其反射过后，其反射光线一定是散开的，就好似从另外的一个焦点射出来的那样（如图3所示）。然而由椭圆上一焦点所散出的光线，在经其反射之后，反射的光线会交于椭圆的另外一个焦点上（如图4所示）， 当然双曲线以及椭圆的光学性质也各种设计以及生活当中被人们广泛地运用。

[图3 图4]

三、圆锥曲线的性质及应用

1. 直线与圆锥曲线的位置关系的实际应用

例4 过原点且斜率为正值的直线交椭圆[图7] 于E，F两点，设A （2，0），B（0，1），求四边形AEBF面积S的最大值。

分析 由图形的对称性可知，当且仅当椭圆弧AB上的点F到直线AB的距离最大时，四边形AEBF的面积取最大值，不难发现此时的点F恰是椭圆平行于AB的切线与椭圆的共共点。

解 设直线是与直线AB平行的椭圆的两条切线，则当E，F分别与两切点重合时，四边形AEBF面积S取最大值。设切线的方程为，代入椭圆方程可得，令得，即两切线的方程为，它们的距离为，而，故。

例5 已知A（1，1）为椭圆内一点，[图8] 为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点。求的最大值和最小值。

解 已知 ，左焦点（-2，0），右焦点。由椭圆的定义

由 知

（当在延长线上的处时，取右“=”，当在的反向延长线的处时，取左“=”）

即的最大值、最小值分别为，，于是的最大值为，最小值为。

反思 利用三角形两边之和大于第三边的性质求得最值。

例6 求二元函数的最小值. [图9]

分析 如图所示，的表达式是两点、之间距离的平方，且所以，、分别是圆与双曲线上的一点。 易知，所以

小结 由于平面解析几何本身是数形结合的产物，所以借助图形的几何性质 也是破解圆锥曲线问题的重要对策，而且往往能收到事半功倍的效果。

总结 本文在介绍圆锥曲线的图形的简单形成之后，利用了数形结合的思想，函数与方程的思想，简单的概括的圆锥曲线的图像函数，并根据一些简单的例子巩固了圆锥曲线的概念。再者，又利用了分类讨论的思想；对椭圆、双曲线、抛物线的几个相同的性质及不同的性质进行分析，最后归纳总结。且在了解了圆锥曲线的几个基本性质之后再對其在生活中的推广应用进行一个简单的讲解与分析。在一些例题的分析之后，也让我们了解到天体在宇宙运行的轨迹以及圆锥曲线在生活中被广泛应用的奥秘。