田鲲

正态分布在概率论和数理统计中占有很重要的地位. 在实际生活中遇到的许多随机现象都服从或者近似地服从正态分布（如产品尺寸、测量的误差、炮弹落点的分布、人的生理特征量、农作物的收获量等等），这也是教材增加这一内容的意图和宗旨. 高考对正态分布的考查以中、低档题为主，主要考查正态分布的基本概念、性质和计算.

正态分布密曲线的性质

例1 设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（ ）

[1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2]

A. B.

C. D.

解析 根據正态分布函数的性质知：正态分布曲线是一条关于直线对称，在处取得最大值的连续钟形曲线. 越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭.

答案 A

点评 本题考查了和对正态密度曲线的形状与位置的影响.

正态分布的有关概率计算

标准正态分布，其分布密度曲线关于轴对称，， 则.

正态分布，记，则，利用这一性质可以将非标准正态分布转化为标准正态分布来解决.

例2 设随机变量服从标准正态分布，若，则 .

解析 由正态曲线的对称性得，，故.

答案 2

点评 本题考查了利用正态曲线的对称性求参数的值.

例3 设随机变量服从标准正态分布，已知，则（ ）

A. B.

C. D.

解析

.

答案 C

点评 利用标准正态分布下求解.

例4 若随机变量，若，则 .

解析

.

答案 0.35

点评 利用正态分布的对称性解题.

例5 设，则 .

解析 由题意得，.

则

答案 0.0215

点评 本题考查特殊区间概率值的求解.

正态分布的实际应用

正态分布是自然界中最常见的一种分布，也是高中阶段唯一的连续型随机变量的分布，在实际生活中应用非常广泛，因此也成为高考考查的热点.

例6 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：）. 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布. 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（1）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（2）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

[9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 ]

经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，.

用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）.

附：若随机变量服从正态分布，则，.

解析 （1）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有，一天内抽取的个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有，发生的概率很小. 因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. 由此可见，上述监控生产过程的方法是合理的.

（2）由，得，，.由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为，因此的估计值为，剩下的数据的样本方差为，因此的估计值为.

点评 本题考查了二项分布、正态分布、方差和标准差的计算，其中数值的计算是考查的热点. 另外，落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据.

例7 从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图.

[质量指标值][165 175 185 195 205 215 225 235][频率

组距][0.033

0.024

0.022

0.009

0.008

0.002]

（1）求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，利用该正态分布，求.

附：若，

则，

.

解析 （1），.

（2），

.

点评 本题主要考查离散型随机变量的期望和方差的计算，以及正态分布在三个特殊区间上的概率的求解.endprint