寇玉琴

二项分布是离散型随机变量中继“两点分布”“超几何分布”后的又一常见的、重要的随机变量的概率分布.其分布的特殊性以及与组合、概率等的综合性，使它成为近几年高考中的高频考点. 本文从二项分布的概念、二项分布的三种常见题型两个大方面出发，列举几个典型范例加以解读，以期帮助读者有效掌握二项分布知识，准确解答二项分布问题.

辨析二项分布模型，正确写出分布列

例1 在一次数学考试中，第题和第题为选做题. 规定每位考生必须且只需在其中选做一题. 设名学生选做每一道题是相互独立的，且选做每道题的概率均为.

（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；

（2）设这名考生中选做第题的学生个数为，求的分布列.

解析 （1）设事件表示“甲选做第”，事件表示“乙选做第”，

则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“，且事件相互独立.

故

.

（2）由题意知，随机变量的可能取值为且.

则.

故变量的分布列为

[ ]

点评 题目中“名学生选做每一道题是相互独立的，且选做每道题的概率均为”，说明了它是4次独立重复试验，并且每次事件发生的概率都是. 因此它符合二项分布的两个条件，是典型的二项分布模型.

例2 在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有个白球和个黑球，乙箱子里装有个白球和个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出个球，且每次游戏结束后将球放回原箱. 若摸出的白球不少于个，则获奖.

（1）求在一次游戏中摸出个白球的概率；

（2）在两次游戏中，记获奖的次数为，求的分布列.

解析 （1）记“在一次游戏中摸出个白球”为事件，事件的概率为，

则.

故在一次游戏中摸出3个白球的概率.

（2）记“一次游戏获奖”为事件，事件的概率为，

则.

而获奖次数为的所有可能取值为0，1，2，

由题意知，.

，

，

.

则的分布列为

[ 0 1 2 ]

点评 “每次游戏结束后将球放回原箱”点明了是有放回地次摸球试验，这是典型的二项分布模型. 值得注意的是，有时超几何分布在产品数量相当大时，也可以近似地看成二项分布.

判断某随机变量是否服从二项分布，要看两点：（1）是否为次独立重复试验，在每次试验中事件发生的概率是否均为；（2）随机变量是否为在这次独立重复试验中某事件发生（不发生）的次数.

掌握二项分布概念，会计算期望和方差

例3 （1）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在次试验中成功次数的均值是 .

（2）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 .

解析 （1）由于同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，

所以这次试验成功的概率是.

因此在2次试验中成功的次数.

则.

（2）由题意知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，.

则.

点评 这道题的选材来源于生活，是同学们熟悉的背景，容易入手. 题目中“有放回地抽取”就说明了它是二项分布模型. 另外，本题考查的是二项分布的期望与方差，直接用公式计算比较简单.

明确交汇知识，建立数学模型

例4 近几年来，某地区经常出现雾霾天气，学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课间操时间，若有雾霾，则停止组织集体活动；若无雾霾，则组织集体活动. 预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五天的课间操时间出现雾霾的概率是：前天均为%，后天均为%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的.

（1）求未来一周天至少一天停止组织集体活动的概率；

（2）求未来一周天不需要停止组织集体活动的天数的分布列；

（3）用表示该校未来一周天停止组织集体活动的天数，记“函数在区间上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率.

解析 （1）未来一周天都组织集体活动的概率是：，

则至少有一天停止组织集体活动的概率是：.

（2）由題意知，的取值是.

，

，

，

.

则不需要停止组织集体活动的天数的分布列如下表.

[ 0 1 2 3 4 5 ]

（3）因为函数在区间上有且只有一个零点，且，

所以

所以

所以

所以事件发生的概率为：

+

点评 次独立重复试验是相互独立事件的特殊情况.当相互独立事件发生的概率部分相同时，可以用二项分布公式来表达.

例5 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：cm）. 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布. 假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望.

附：若随机变量服从正态分布，则，.

解析 由题意知，尺寸落在之内的概率为.

则尺寸落在之外的概率为.

因为，

所以.

则.

点评 二项分布与频率分布直方图（或茎叶图）、正态分布、独立性检验等的综合已经成了高考的创新题型与高考一大亮点. 解决二项分布的创新性、交汇性问题，务必要明确交汇知识，正确应用相关知识，建立恰当的数学模型求解.endprint