杜元伟,王素素，杨 宁，周 雯

(中国海洋大学管理学院, 山东 青岛 266100)

1 引言

随着社会管理实践问题的日趋复杂，利用现代化的信息技术采集众多主体意见，实现科学化、系统化、民主化的大群体决策逐渐普及。从公共交通方案规划到自然灾害应急管理，从网络平台征求民意到春晚最佳节目评选，其中无一不体现着大群体决策思维。大群体决策通常具有以下特征：一是参与主体不仅类型多样而且数量众多，一般由从事某些专业技术领域的专家群体组成，具有群体性特征；二是决策问题的复杂性导致了该类决策要先对多个属性进行分析再将分析结果予以综合，具有多属性特征；三是在多种主客观因素的交互作用下，用于解决决策问题的备选方案其实施结果难以预测，具有不确定性特征。

大群体决策自陈晓红教授提出之后得到了国内外学者的广泛认可和深入研究，目前已取得了一系列重要研究成果。这些成果可以从群体性、多属性、不确定性三个方面概括如下：针对大群体决策中的群体性问题，现有成果遵循“个体→小群体→大群体”的研究思路，先基于个体推断信息利用聚类分析技术进行小群体分组和部分信息集成，再结合小群体权重实现大群体信息集成和决策。如：陈晓红、徐选华、Zahir[1]、Liu Bingsheng等基于经典/改进聚类算法等提出了专家权重/小群体权重计算方法、复杂大群体决策方法以及面向层次分析的群体聚类方法等[1-5]。针对大群体决策中的多属性问题，现有成果主要是先对各个属性设定一组评价标度，然后基于众多个体的推断信息确定方案在各个属性上隶属于不同标度的概率分布，最后按照随机占优准则确定方案排序。如：樊治平、刘洋、张晓等基于累积前景理论提出了几种多属性多标度大群体决策方法[6-9]。针对大群体决策中的不确定性问题，现有成果先利用区间数、模糊数、语言标度、偏好关系等方式提取个体推断信息，再按照特定的合成规则实现大群体信息的集成，最后通过冲突处理和交互学习逐步完善推断信息并实现最终决策。如：Liu Bingsheng、Xu Xuanhua、Jiang Yuan、江文奇等提出了应用已有授权机制的动态一致性方法、基于区间直觉模糊数的冲突测度方法与偏最小二乘决策方法、考虑参考点的大群体信息融合方法等[10-14]。上述成果无疑对深化和完善大群体决策的理论体系具有极其重要的作用。

李德毅和杜鹢[15]指出不确定性可以细化为随机性、模糊性、不协调性、非恒常性、不完备性。在上述有关大群体决策的研究成果中，已有学者尝试利用累积前景理论、模糊集、冲突处理和交互学习等方式解决前四种不确定性问题，但目前尚未发现有用于解决不完备性问题的相关研究成果。因为在大群体决策中参与决策的专家不仅类型多样而且数量众多，要求所有专家都有能力给出完备性的推断信息并不现实，所以不完备性在该类决策中体现的尤为明显。不完备性是指专家的知识结构总是不完备的——专家的前期知识储备和主观认知能力都是有限的，并非如传统方法中假设的具有全知全能性。若考虑专家知识结构则在大群体决策中必须注意以下问题。领域性问题：每位专家只能在其专业领域内对决策问题的一个或几个方面做出推断；不完备性问题：专家推断中可能会存在“不完全知道”或“完全不知道”的不完备性信息；可靠性问题：专家在推断过程中难免会出错，只是出错几率有所不同而已。为此，本文对考虑专家知识结构的不完备型多属性大群体决策问题开展研究，重点解决不完备性推断信息的有效提取和科学融合问题。

2 问题界定与信息提取

图1 推断信息提取思路

定义1 设决策问题Q的所有可能答案可以表示为互斥且可穷举的命题θn(n=1,…,N)，其中有且仅有一个命题θ*是Q的正确答案，则称由所有命题构成的样本空间Θ={θn|n=1,…,N}为Q的识别框架。

定义2 设识别框架Θ所有子集集合为2Θ，Θ的任意非空子集及可信度分别为θ和m(θ)，若映射函数m:2Θ→[0,1]能满足：

m(∅)=0， ∑θ⊆Θm(θ)=1，

(1)

则称其为Θ上的基本信任分配函数(Basic Belief Assignment, BBA)。若m(θ)>0则称θ为决策问题Q的焦元。

(2)

相对于现有方法要求专家必须对方案在每个属性上的表现予以推断而言[4, 11, 21]，本文信息提取方法具有以下优势。一是允许专家结合自身知识结构对有能力开展推断的属性进行选择，能够克服因要求强行推断而可能给出错误信息的缺陷；二是允许专家在特定属性组上开展局部整体推断或全局整体推断，不仅可以减少推断次数、减轻专家压力，而且还有利于反映出整体论中的涌现效应；三是采用BBA函数描述不完备性推断信息，为真实反映专家推断能力创造了条件，有利于得到更为有效的决策信息。显然，当每位专家都能够在所有属性上进行单属性推断且都可以给出完备性推断信息时，本文方法就转化为现有的信息提取方法，可见现有方法是本文推断信息提取方法的特例。

3 信息融合与方法步骤

下面在考虑属性权重和专家可靠性之间性质差异的基础上，基于证据推理(Evidence Reasoning, ER)规则和Pignistic概率对不完备性推断信息予以融合并确定各个方案在等级标度上的概率分布。

3.1 融合思路

对于专家推断信息的融合可以分为个体融合和群体融合两个部分。其中：前者是指以专家个体为对象，通过融合其在不同属性组上的推断信息得到专家个体对方案的综合性推断信息，此时要考虑属性权重的影响；后者是以所有专家为对象，通过对由个体融合得到的综合性推断信息进行再融合得到所有专家对方案的整体性推断信息，此时要考虑专家可靠性的影响。信息融合策略按照是否允许信息之间相互补偿的原则可以划分为非补偿性融合和补偿性融合两种，结合属性权重和专家可靠性的性质差异，我们认为个体融合和群体融合分别要遵循补偿性策略和非补偿性策略(原因详见下文)。按照先个体融合后群体融合的次序，构建专家推断信息的融合思路，具体如下图所示。

图2 专家推断信息的融合思路

3.2 个体融合与群体融合

(3)

(4a)

其中：

(4b)

(4c)

(5)

(6)

(7)

由定理3可知，在专家给出的推断信息中只要某命题被其中一个属性支持，利用上述方法开展融合之后，该命题最终就可能被支持。可见上述个体融合方法能够反映属性信息之间的补偿性。

(8)

(9)

由定理5可知，在综合推断信息中只要某命题被一个绝对可靠的专家拒绝，利用上述方法开展融合之后，该命题最终就一定被拒绝。可见上述群体融合方法能够反映专家信息之间的非补偿性。

3.3 方法步骤

基于个体融合和群体融合的方法和定理，构建考虑专家知识结构的不完备型多属性大群体决策方法步骤如下。

步骤1备选方案识别。针对复杂决策问题识别所有可能的可行解决方案。设识别后确定的备选方案集为{ak|k=1,…,K}，现要对各方案进行排序并从中选择出最优方案a*。

步骤2决策参数设定。请多位专家从不同属性对方案进行评价。构建属性集为{cj|j=1,…,J}，参评专家集为{ei|i=1,…,I}且I≥20，设定属性权重集为{wj|∑jwj=1,0

步骤3指定初始方案。令k=1，将备选方案a1作为初始评价的方案。

(10)

其中，Belk(θn)=∑X⊆θnmk(X)，Plk(θn)=∑θn∩X≠∅mk(X)，εk=[1-∑θn⊆ΘBelk(θn)]/∑θn⊆Θ

Plk(θn)。

步骤8评价方案变更。令k=k+1，若k≤K，则将方案ak作为当前评价方案，转到步骤4；若k>K，则说明已完成对所有方案的推断和融合，转到步骤9。

(11)

总效用Uk越大说明方案ak越好，据此可以得到所有方案的优劣排序。

4 数值对比分析

设方案集是A={ak|k=1,2,3}，用于评价备选方案的属性集是C={cj|j=1,2,3,4}，属性权重集是W={w1=w2=0.2,w3=w4=0.3}，参与决策的专家集是E={ei|i=1,…,20}。根据专家的知识结构，设E中专家可分为4组，并且各组专家有能力开展推断的属性集并不相同，详见图3所示。由图3可知，专家组E1中包括专家e1,…,e5，与他们对应的属性集为C1=…=C5={c1,c2}，其它三组专家及对应的属性集可类似得知。各组内专家都有不同的可靠性，不妨设各组内第1-5位专家的可靠系数分别为0.2、0.4、0.6、0.8、1.0。

图3 决策问题描述示意图

设评价等级标度为Θ=(θ1,…,θ5)=(差，较差，中，较好，好)，设事先确定各个等级的效用分别为u1=0、u2=0.25、u3=0.50、u4=0.75、u5=1。下面借鉴科学研究中经常使用的一种对比方式，分别采用标准方法、传统方法、本文方法对上述大群体决策问题进行模拟求解，并通过三者之间的结果对比来验证方法的科学性和有效性。

4.1 标准方法

(12)

假设由此得到方案在特定属性上表现的发生概率，具体如表1所示。

表1 方案在各属性上隶属等级标度的统计概率

因为上述表1中数据是生成后文两种方法模拟输入数据的基础，故将二者称为标准数据；又因为上述求解方法是利用经典期望效用理论进行的求解，故称其为标准方法；将全部观测数据代入标准方法中进行求解所得到的结果称为标准结果。需要特别注意的是，表1中对于方案表现的观测数据在现实中是很难或无法得到的，故无法直接利用经典期望效用理论进行求解。之所以假设给出上述数据并利用经典方法进行求解，一是为了生成传统方法和本文方法的模拟输入数据，二是为判别两种方法求解结果的科学性和有效性提供参照依据。

4.2 传统方法

如前文所述，传统方法要求专家必须对方案在每个属性上的表现给出完备性推断信息。为了反映专家知识结构的影响，这里给出以下假设。假设1：每位专家对方案集A中方案在各个属性上表现隶属于等级标度的情况仅观测到了其中200次数据。假设2：每位专家在其能力范围(属性集)内所给出的推断信息都是在一定程度上准确的(准确程度与专家可靠性呈正比关系)，而在其能力范围外所给出的推断信息都是随机的。假设3：若专家有能力对方案在某一属性组上的整体表现进行推断，则该专家亦能对方案在该属性组内每个属性上的具体表现进行推断。

表2 传统方法在差集属性上的模拟观测次数

4.3 本文方法

表3 E1中专家对方案a1的模拟推断信息

将模拟生成的如表3所示的不完备性推断信息代入步骤3-步骤9，通过开展个体融合、群体融合确定各个方案在评价等级标度上的概率分布，再结合等级标度效用，计算得到各个方案的总效用，详见表4第7-8列。

4.4 决策结果与对比分析

由表4可知，由传统方法和本文方法求解得到的方案总效用与标准结果之间均存在着一定的偏差，传统方法的累计偏差是0.043、本文方法的是0.016；依据总效用对方案进行排序，标准方法的排序为a2≻a1≻a3，传统方法的排序为a1≻a2≻a3，本文方法的排序为a2≻a1≻a3。显然，无论是在方案排序方面还是在累计偏差方面，本文方法均优于传统方法。

表4 方案总效用与累计偏差

考虑到上述结论仅能反映专家对方案在差集属性上表现的推断取值为某一随机整数的特殊情况，为了得到更具一般性的结论，这里将专家对方案在差集属性上表现推断取值按照上述方式随机产生100次，并遵循上述过程进行求解，最终得到100次模拟求解的方案总效用。上述结果与标准结果之间的累计偏差分布如图4所示。将100次的方案总效用进行平均并计算该平均值与标准结果之间的平均累计偏差，具体如表4第5-6列所示。由表4和图4不难看出，就与标准结果之间的累计偏差而言，虽然传统方法中亦可能存在小于本文方法的情况，但是在绝大多数情况下本文方法的累计偏差要小于传统方法的累计偏差(由传统方法得到结果的平均累计偏差为0.025，超过本文方法累计偏差0.016的34%)。

图4 本文方法与传统方法的累计偏差对比

需要指出的是：其一，传统方法要求每位专家对方案在所有属性上隶属等级标度的概率进行推断，本例中每位专家的推断次数是K×J×N=3×4×5=60次，专家人数为I=20人，所有专家总共推断次数为20×60=1200次。本文方法仅要求专家在其有能力开展推断的属性组上进行推断，本例中E1、E2、E3中每位专家的推断次数是K×Li×(N-1)=3×2×4=24次，E4中每位专家的推断次数K×Li×(N-1)=3×1×4=12次，故20位专家总共推断次数为24×5×3+12×5×1=420次。据此可知本文方法总共推断次数是传统方法的35%。其二，因专家知识结构的限制，本例中假设传统方法模拟输入数据中存在的错误推断次数是225次(表3中数据个数乘以专家组中人数)，由此可知正确推断次数为1200-225=975次，该值是本文方法总共推断次数的2.3倍，这说明传统方法在正确信息数量是本文方法2.3倍的情况下，其得到的结果仅是偶尔会优于本文方法(图4中几率是16%)。其三，本例在传统方法中假设，若专家有能力对方案在某一属性组上的整体表现进行推断，则该专家亦能对方案在该属性组内的每个属性上的具体表现进行推断，但是该假设在现实中是否依然成立却有待商榷，一是因为专家有时会仅注重搜集整体性的信息而忽略细节性的信息(如：高层管理者总是会从战略视角或者全局视角来考虑问题)，二是因为专家难免会因推断次数过多而焦躁不安，进而影响推断结果的准确程度。由此可见，本文方法较传统方法所需要的推断次数更少但决策结果的准确程度却更好，故更具科学性和有效性。

5 结语

在大群体决策中参与决策的专家不仅类型多样而且数量众多，各个专家都具有不同的知识结构，要求所有专家都有能力给出完备性的推断信息并不现实，所以不完备性在该类决策中体现的尤为明显。为了解决上述问题，本文首先从领域性、不完备性、可靠性三个视角对该类决策问题的特征进行了描述和界定，并应用基本信任分配函数提出了不完备性推断信息的提取机理，然后以ER规则为技术基础，分别结合补偿性和非补偿性融合策略提出了对专家个体和专家群体推断信息进行融合的方法和定理，在此基础上遵循先个体融合后群体融合的思路构建了考虑专家知识结构的大群体决策方法步骤，最后分别采用标准方法、传统方法、本文方法对同一个大群体决策问题进行模拟求解，并通过三者结果之间的对比分析验证了提出方法的科学性和有效性。本文方法的创新之处主要体现在以下三个方面：其一，本文从不完备性视角研究解决具有不确定性的多属性大群体决策问题，能够通过对众多片面信息的融合实现对方案的整体判断，相对于现有方法仅能处理随机性、模糊性、不协调性、非恒常性问题而言具有创新性。其二，本文提出的不完备性推断信息提取方法允许专家结合自身知识结构对有能力开展推断的属性组进行选择，允许开展局部整体推断和全局整体推断，允许给出不完备的推断信息，相对于传统方法要求专家必须对方案在每个属性上的表现予以推断而言具有创新性。其三，本文构建的个体融合方法和群体融合方法考虑了属性权重和专家可靠性之间的性质差异，能够反映属性信息之间的补偿性以及专家信息之间的非补偿性，相对于现有方法并未对该类决策中的属性权重与专家可靠性进行区别而言具有创新性。需要说明的是：本文仅从静态推断信息融合视角对存在属性权重和专家可靠性的不完备型多属性大群决策问题进行了研究，并没有考虑推断信息的产生可能需要专家之间交互研讨的动态推断问题，因此从动态交互视角对该问题进行拓展是下一步研究的重点。

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