吴鑫育，李心丹，马超群

(1. 南京大学工程管理学院，江苏 南京 210093；2. 安徽财经大学金融学院，安徽 蚌埠 233030；3. 湖南大学工商管理学院，湖南 长沙 410082)

1 引言

针对市场微观结构的研究表明, 缺乏流动性、价格不连续、非同步交易等会造成资产价格偏离均衡价值, 使得观测的资产价格中存在微观结构噪声。 Aït-Sahalia等[1]、Bandi和Russell[2]研究了微观结构噪声如何影响波动率的估计问题。 Duan和Fulop[3], Huang和Yu Jun[4]和Kwon和Lee[5]研究了存在微观结构噪声条件下结构化信用风险的建模以及估计问题, 发现忽略微观结构噪声会对模型参数估计产生重要影响, 进而影响对风险价差、违约概率的估计。 Andersen等[6]考察了受微观结构噪声影响的不同波动率测度的预测能力, 发现微观结构噪声对预测精度有较大的不利影响。 赵树然等[7]考虑了受非同步和微观结构噪声影响的已实现波动率矩阵的纠偏降噪方法。 刘志东和严冠[8]基于非参数统计推断方法对金融资产价格中随机波动、跳跃和微观结构噪声等问题进行全面系统的研究, 发现我国A股市场中噪音交易显著。 在期权定价中, 波动率是一个重要变量, 忽略微观结构噪声可能造成标的资产波动率的非正常高估, 由此造成期权定价误差[9]。 因此, 更加贴近实际的期权定价应该考虑微观结构噪声的影响。

近二十年来, 期权定价的研究取得了快速发展, 凸显了随机波动率对于期权定价的重要性。 特别地, 仿射随机波动率模型, 例如Heston[10]模型及其扩展, 由于其在解析上的易处理性以及能够给出欧式期权的闭型定价公式, 在实际中得到了广泛的关注与应用。 与此同时, 众多研究发现, 仿射随机波动率模型对于描述标的资产价格以及期权价格动态性并不充分, 提供了强的实证结果支持非仿射随机波动率模型, 例如GARCH扩散模型。 这类模型能够刻画更为现实的波动率路径及波动率分布状态, 显著改进资产组合配置以及期权定价表现, 例如Christoffersen等[11], Hansis[12], Drimus[13], Ferriani和Pastorello[14], Kaeck和Alexander[15], Durham[16], Shi等[17]和吴鑫育等[18, 19]。 Kaeck和Alexander[15]研究发现, 允许非仿射波动率动态性相比引入跳跃对于准确描述标的资产价格波动性更为重要, 特别地, 非仿射GARCH扩散模型相比带跳跃的仿射随机波动率模型表现更为优越。 然而, 目前国内外对存在微观结构噪声情形下非仿射随机波动率期权定价的研究还非常少见。

将随机波动率期权定价模型应用于实际的一个关键问题是模型的参数估计。 关于随机波动率模型参数估计的研究已经取得丰富的成果, 提出的方法有广义矩方法(GMM)、有效矩方法(EMM)、伪极大似然(QML)和马尔科夫链蒙特卡罗(MCMC)方法等。 然而, 传统上这些方法采用单一标的资产价格数据估计随机波动率模型参数, 只能得到模型客观测度下的参数, 不能够识别波动率风险溢价, 造成期权定价误差[20]。 与此同时, 一些学者采用期权价格数据, 提出非线性最小二乘方法来估计随机波动率模型参数, 例如Broadie等[21]。 这种估计方法的优点在于简单、易于实现。 但该方法存在过度拟合问题, 且忽略了标的资产价格动态信息。

近年来, 学者们提出同时采用标的资产价格和期权价格数据来估计随机波动率模型参数的方法, 例如EMM[22]、GMM[23]和MCMC方法[15]。 这些方法可以联合估计得到模型客观与风险中性参数, 保证模型客观与风险中性测度的一致性。 在客观测度与风险中性测度下, 随机波动率模型特定参数应保持一致。 Broadie等[21]研究发现, 忽略模型特定参数在理论上的一致性会导致不合理的期权定价结果。 由于同时采用了包含丰富信息的标的资产价格和期权价格数据, 上述方法能够显著提高参数估计与波动率估计的精确性。 从而, 这类估计方法在金融学文献中获得了广泛的关注。 但是, 基于期权价格数据的估计方法由于在其估计过程中不可避免地涉及随机波动率模型下的期权定价, 估计程序非常耗时, 特别当模型缺乏闭型定价公式而需要采用蒙特卡罗方法来计算期权价格时, 估计效率愈加低下。 因此, 提出更为有效的同时采用标的资产价格和期权价格数据信息来估计随机波动率模型的参数估计方法仍有待拓展。

由于非仿射随机波动率模型不存在欧式期权的精确闭型定价公式, Monte Carlo模拟方法仍是其最主要的定价方法。 然而, 众所周知, Monte Carlo模拟方法要求大的计算量, 存在耗时长的缺点, 难以满足实际应用的需求。 为了克服这个问题, 吴鑫育等[19]通过应用偏微分方程扰动分析法推导了非仿射随机波动率模型的近似特征函数, 进而采用快速傅里叶变换(FFT)方法对期权进行了定价, 改进了非仿射随机波动率模型的期权定价效率。 但是, FFT期权定价方法仍存在缺点: 首先, 为了保证期权定价的精确性, 需要数量足够大的对数执行价格网格, 而这会导致计算效率的损失, 因为大多数的执行价格要么极端小或极端大, 只有对应少数执行价格计算的期权价格有实际意义; 其次, FFT期权定价需要引入阻尼因子, 但阻尼因子参数值的设定较为任意, 不同的设定会产生不同的结果, 也会造成期权定价误差。

基于以上认识, 本文考虑存在微观结构噪声情形下, 基于非仿射随机波动率模型对我国推出的首个股票期权产品——上证50ETF期权进行定价研究。 基于Lewis[24]的幂级数展开方法, 得到非仿射随机波动率模型下欧式期权的近似定价公式, 该近似定价公式易于实现, 且具有较高的计算效率以及定价精确性。 运用卡尔曼滤波对观测的上证50ETF价格中的微观结构噪声进行过滤, 得到上证50ETF有效价格, 进而采用上证50ETF有效价格与iVX波动率指数数据, 建立基于有效重要性抽样的极大似然(Efficient Importance Sampling-based Maximum Likelihood, EIS-ML)估计方法, 对非仿射随机波动率模型的客观与风险中性参数进行联合估计。 中国波指(iVX)是由上海证券交易所发布, 用于衡量上证50ETF未来30日的预期波动。 该指数是根据方差互换的原理, 采用上海证券交易所交易的50ETF期权价格计算编制而得。 该指数包含了丰富的上证50ETF期权价格与波动率动态性信息。 采用iVX进行估计可以避免随机波动率模型下的期权定价, 从而能够极大地节省计算时间, 提高模型参数估计效率[25-26]。 本文建立的EIS-ML方法本质上是一种极大似然方法, 所得参数估计具有良好的统计性质, 如一致性、渐近正态性, 且该方法易于实现、有效。 最后, 为了说明本文构建的模型与方法的合理性, 给出基于我国上证50ETF期权5分钟高频交易数据的实证研究。

2 模型与定价

本文假设标的资产价格(上证50ETF价格)服从如下非仿射随机波动率模型(也被称为GARCH扩散模型)[24]:

(1)

dVt=κ(θ-Vt)dt+σVtdW2,t

(2)

其中μ,κ,θ,σ都是常数,θ是方差的长期均值,κ是方差均值回归的速度,W1t和W2t是标准的布朗运动, 且有dW1,tdW2,t=ρdt。 实际中通常有ρ<0, 表明存在“杠杆效应”。 研究表明, 杠杆效应对于期权定价具有重要影响, 它能够捕获标的资产价格分布负的偏态, 产生“波动率微笑”[22, 27]。

为了对期权进行定价, 需要将客观测度下的随机过程(1)和(2)变换到风险中性测度下。 按照Heston[10]的做法, 设定方差风险溢价为方差的线性函数, 即λ(Vt)=λVt, 运用Girsanov定理可以得到风险中性调整的上证50ETF价格随机过程为:

(3)

(4)

根据Lewis[24]的研究, 上述非仿射随机波动率模型下的欧式期权价格C(St,Vt,τ)可以根据下式计算得到：

(5)

(6)

v(Vt,τ),Rpq和Ji定义为：

J2=0

3 估计方法

由于市场交易过程中存在着缺乏流动性、价格不连续、非同步交易等市场微观结构效应, 观测的上证50ETF市场价格中存在着微观结构噪声。 为此, 本文建立以下状态空间模型：

(7)

lnSt=lnSt-1+Wt,Wt～N(0,Q)

(8)

进一步, 采用上证50ETF有效价格与iVX波动率指数数据, 本文建立EIS-ML方法对非仿射随机波动率模型的客观与风险中性参数进行联合估计。 首先, 将客观测度下的非仿射随机波动率模型(1)和(2)Euler离散化, 得到：

(9)

(10)

其中Δ是时间步长,εt和ηt都是均值为0, 方差为Δ的独立同分布的(i.i.d.)正态分布随机变量, 且εt和ηt的相关系数为ρ。 对于日度及更高频率的抽样数据而言, 上述连续时间模型的Euler离散化偏差可以忽略不计。

其次, 引入包含丰富期权价格数据信息的iVX波动率指数对模型风险中性参数进行估计。 假设iVX观测值与理论值具有如下的乘性误差结构：

lniVXt=lniVXt(Vt;Θ)+νt

(11)

其中iVXt是观测的iVX值,iVXt(Vt;Θ)是风险中性模型隐含的iVX理论值(参见附录),Θ是模型风险中性参数,νt是均值为0, 方差为δ2的i.i.d.正态分布随机变量, 且与εt和ηt相互独立。 误差项νt代表iVX的度量误差, 捕获模型定价误差以及微观结构噪声。

由此, 式(9)-(11)构成非线性、非高斯的状态空间模型, 待估计的参数向量为Θ={μ,κ,θ,σ,ρ,κ*,δ}, 它包含了非仿射随机波动率模型的客观与风险中性参数。 事实上,Θ=Θ∪Θ∪{δ}, 其中Θ={μ,κ,θ,σ,ρ}是模型客观参数,Θ={κ*,θ*,σ,ρ}是模型风险中性参数。 因为θ*根据θ*=κθ/κ*计算, 由此Θ={μ,κ,θ,σ,ρ,κ*,θ*,δ}≡{μ,κ,θ,σ,ρ,κ*,δ}。 此外, 由于{κ,θ}≡{κθ,κ}, {κ*,θ*}≡{κ*θ*,κ*}={κθ,κ*}, 故理论上参数Θ∩Θ={κθ,σ,ρ}在客观与风险中性测度下应保持一致。

假设x={x1,x2,…,xT}′,y={y1,y2,…,yT}′,h={h1,h2,…,hT}′, 其中xt=ln(St/St-1),yt=lniVXt,ht=lnVt。 模型似然函数可以写为：

(12)

其中p(x,y,h;Θ)是x,y和h的联合密度函数, 可以写为：

(14)

(15)

实际中, 式(12)是一个复杂的高维积分, 无法通过数值方法直接求解。 为了克服这个问题, 本文建立EIS方法来估计式(12)。 根据Richard和Zhang Wei[29]的研究, 设定EIS密度的形式为：

(16)

其中kt(ht|xt,ht-1,at)是预先确定的参数化密度核,at是EIS辅助参数。

选取密度核

其中EIS辅助参数at=(a1,t,a2,t)′。 此时, EIS密度mt(ht|xt,ht-1,at)是正态密度, 且其均值与方差为：

(18)

(19)

模型似然函数(12)可以改写为：

(20)

其中p(xT+1|hT,Θ)≡χT+1(xT+1,hT;aT+1)≡1。由此, 得到似然函数?(x,y;Θ)的EIS—蒙特卡罗估计为：

(21)

EIS方法旨在通过选择合理的辅助参数向量at, 以最小化式(21)的蒙特卡罗估计方差。 根据Richard 和Zhang Wei[29]的研究, 它通过求解如下向后递归的辅助最小二乘问题实现:

(22)

综合起来, 估计似然函数的EIS算法具体步骤如下:

步骤2 向后递归地求解最小二乘问题(22), 或等价地做如下的线性回归(t:T→1):

(23)

步骤4 重复步骤2和步骤3, 直到收敛;

最后, 得到非仿射随机波动率模型(客观与风险中性)参数的EIS-ML估计为：

(24)

(25)

4 实证研究

为了考察期权定价模型的定价表现, 本文采用上证50ETF期权从2016年4月7日至2016年4月15日5分钟高频交易价格数据进行实证分析。 上证50ETF期权是我国推出的首个股票期权产品, 于2015年2月9日在上海证券交易所上市交易, 正式开启了我国证券市场期权时代。 上证50ETF期权标的资产是华夏上证50ETF, 每张50ETF期权合约对应10000份华夏上证50ETF。 上证50ETF期权分为认购(看涨)期权和认沽(看跌)期权两种类型, 均为欧式期权(到期日行权)。 50ETF期权的到期月份包括当月、下月及随后两个季月, 最后交易日为到期月份的第四个星期三(遇法定节假日顺延), 采用实物交割方式进行交割。 上证50ETF及其期权采用竞价交易方式进行交易, 每个交易日的9:15至9:25为开盘集合竞价时间, 9:30至11:30、13:00至15:00为连续竞价时间。 上证50ETF的市场价格是由基金单位净值决定的, 并围绕着基金单位净值在一个极窄的幅度内上下波动。 上证50ETF期权价格由其标的上证50ETF的价格决定, 其最小报价单位为0.0001元。 上证50ETF期权合约选取为市场上交易较为活跃的四种合约: 50ETF购4月2150、50ETF购4月2200、50ETF沽4月2150和50ETF沽4月2200。 采用上证50ETF期权标的资产上证50ETF与iVX波动率指数5分钟高频交易数据来估计模型的参数, 数据抽样阶段选取为2016年2月16日至2016年4月6日。 选取1个月的上海银行间同业拆借利率(SHIBOR)作为无风险利率的代理指标。 iVX波动率指数数据来源于上海证券交易所网站(http://www.sse.com.cn/assortment/options/volatility/), 其它数据均来源于Wind资讯。

图1给出了上证50ETF价格和iVX波动率指数5分钟间隔的时间序列图。 运用卡尔曼滤波对观测的上证50ETF价格中的微观结构噪声进行过滤, 得到去噪的上证50ETF有效价格。 表1给出了基于未去噪与已去噪的上证50ETF价格计算的上证50ETF(对数)收益率及iVX波动率指数的描述性统计量。 从表1中可以看到, 未去噪的上证50ETF收益率与已去噪的上证50ETF收益率均存在明显的负偏和尖峰厚尾特征, Jarque-Bera统计量表明拒绝正态分布的假定。 比较未去噪的上证50ETF收益率与已去噪的上证50ETF收益率的描述性统计量, 它们存在着区别, 特别地, 已去噪的上证50ETF收益率的无条件波动率(标准差)小于未去噪的上证50ETF收益率的无条件波动率(0.002194 vs. 0.002257), 表明微观结构噪声会造成波动率的高估。 iVX波动率指数的描述性统计量表明, 上证50ETF收益率在抽样阶段内的预期年化波动率约为32.66%, 波动率变动范围为29.94%到37.70%。

图1 上证50ETF价格与iVX波动率指数5分钟时间序列图: 2016-02-16—2016-04-06

数据最小值最大值均值标准差偏度峰度Jarque-Bera上证50ETF收益率(未去噪)-0.0273200.0116150.0000620.002257-0.92164620.13839219597.6851(0.000)上证50ETF收益率(已去噪)-0.0265220.0113050.0000620.002194-0.92599820.11502719547.0194(0.000)iVX波动率指数29.94160037.69540032.6644211.3765600.5704683.746883122.6542(0.000)

注： ()中是Jarque-Bera统计量的p-值.

基于上证50ETF有效价格和iVX波动率指数联合时间序列数据, 运用第3部分给出的EIS-ML估计方法得到非仿射随机波动率模型的参数估计结果如表2所示。 为了比较起见, 表2也给出了基于未去噪的上证50ETF价格数据得到的模型参数估计结果。 从表2可以看到, 基于未去噪的上证50ETF价格数据估计的上证50ETF的方差长期均值为θ=0.0476, 相当于年化波动率约为21.82%, 方差均值回归的速度为κ=21.3952, 方差的波动率为σ=1.4151, 杠杆效应为ρ=-0.2571, 风险中性参数估计值为κ*=-1.9615。基于已去噪的上证50ETF价格(上证50ETF有效价格)数据估计的上证50ETF的方差长期均值为θ=0.0451, 相当于年化波动率约为21.24%, 方差均值回归的速度为κ=21.3647, 方差的波动率为σ=1.4036, 杠杆效应为ρ=-0.2585, 风险中性参数估计值为κ*=-3.4799。 基于未去噪和已去噪的上证50ETF价格数据估计的上证50ETF的方差长期均值均低于其无条件抽样方差0.0587(=0.0022572×240×48)和0.0555(=0.0021942×240×48)(见表1)。 此外, 基于未去噪和已去噪的上证50ETF价格数据估计的风险中性参数κ*均小于零, 表明风险中性测度下的波动率过程不是一个均值回归过程, 这与Duan和Yeh[30]对美国期权市场的研究结果一致。

表2 参数估计结果

注： Log-lik是对数似然值; ()中是参数EIS-ML估计的标准误差.

比较基于未去噪和已去噪的上证50ETF价格数据估计得到的模型参数值, 可以看到,基于已去噪的上证50ETF价格数据估计得到的所有参数值均小于基于未去噪的上证50ETF价格数据估计的相应模型参数值。 特别地, 基于已去噪的上证50ETF价格数据估计的风险中性参数值要明显小于基于未去噪的上证50ETF价格数据估计的风险中性参数值(-1.9615 vs. -3.4799), 这将对期权定价产生重要影响。 最后, 估计得到iVX波动率指数度量误差的标准误差约为0.001, 且在统计上显著, 表明iVX波动率指数确实存在度量误差。

基于表2给出的模型参数估计结果, 利用EIS算法及式(25)得到滤过的现货方差如图2所示。 从图2可以看到, 基于未去噪的上证50ETF价格数据滤过的现货方差和基于已去噪的上证50ETF价格数据滤过的现货方差在整体上具有一致的趋势, 但两者也存在着明显的区别, 基于已去噪的上证50ETF价格数据滤过的现货方差要明显低于基于未去噪的上证50ETF价格数据滤过的现货方差, 表明微观结构噪声确实会对资产收益率的波动率的估计产生重要的影响, 忽略微观结构噪声会造成波动率的高估。

图2 滤过的现货方差: 未去噪 vs. 已去噪

进一步, 通过比较考虑微观结构噪声(已去噪)的非仿射随机波动率模型、未考虑微观结构噪声(未去噪)的非仿射随机波动率模型以及经典的B-S模型的定价结果与实际观测到的期权市场价格的误差程度来分析模型的定价表现, 其中B-S模型中的波动率参数采用滚动的历史波动率方法估计。 选取两个定价误差测度, 即绝对均方根定价误差测度(RMSEa)和相对均方根定价误差测度(RMSEr)来比较模型的定价表现。RMSEa和RMSEr的构建方法如下:

(26)

与

(27)

运用期权定价公式(5), 得到非仿射随机波动率模型下的上证50ETF期权定价结果, 进一步根据式(26)和(27)计算得到模型定价误差如表3所示。 为了比较起见, 表3也给出了考虑微观结构噪声和不考虑微观结构噪声(已去噪和未去噪)的B-S模型的定价误差结果。 从表3可以看到, 当考虑微观结构噪声, 模型的定价表现能够得到改进, 已去噪的模型(B-S模型和非仿射随机波动率模型)都比相应未去噪的模型具有更高的定价精确性, 表明微观结构噪声会对期权定价产生重要影响。 另外, 无论考虑微观结构噪声与否, 非仿射随机波动率模型都比B-S模型具有更高的定价精确性(更低的RMSEa和RMSEr), 特别对于看跌期权, 非仿射随机波动率模型相比B-S模型具有明显更为优越的定价表现(非仿射随机波动率模型的RMSEr相比B-S模型的RMSEr降低明显), 表明非仿射波动率能够改进期权定价表现。 最后, 从表3还可以看到, 未考虑微观结构噪声的非仿射随机波动率模型相比考虑微观结构噪声的B-S模型具有更高的定价精确性, 表明非仿射波动率相比微观结构噪声对于期权定价具有更大的影响。

表3 上证50ETF期权定价误差

5 结语

当前, 基于随机波动率模型的期权定价已经成为学者们研究的热点。 然而, 已有关于随机波动率期权定价的研究没有考虑到微观结构噪声的影响, 且主要集中于仿射随机波动率模型。 近年来, 越来越多的实证开始支持非仿射随机波动率模型。 基于此, 本文考虑了存在市场微观结构噪声情形下基于非仿射随机波动率模型的期权定价问题。 通过利用幂级数展开方法得到了非仿射随机波动率模型下欧式期权的近似定价公式。 运用卡尔曼滤波对观测的上证50ETF价格中的微观结构噪声进行过滤, 得到了上证50ETF有效价格, 进而采用去噪的上证50ETF有效价格与iVX波动率指数数据, 建立了基于有效重要性抽样的极大似然(EIS-ML)估计方法, 对非仿射随机波动率模型的客观与风险中性参数进行了联合估计。 采用上证50ETF期权5分钟高频交易数据进行实证研究, 结果表明: 微观结构噪声会对期权定价产生重要的影响, 当考虑微观结构噪声, 模型的定价表现能够得到改进; 无论考虑微观结构噪声与否, 非仿射随机波动率模型都比B-S模型具有更高的定价精确性, 表明非仿射波动率能够改进期权定价表现; 未考虑微观结构噪声的非仿射随机波动率模型相比考虑微观结构噪声的B-S模型具有更高的定价精确性, 表明非仿射波动率相比微观结构噪声对于期权定价具有更大的影响。

附录: iVX闭型表达式推导

根据风险中性波动率过程(4), 运用Ito引理得到:

故有

因此

从而, 根据iVX的定义, 有:

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