于胜军

第一，几何模型见鲁教版初中数学七年级上册第二章第48页.

原题：如图1，直线l是草原上的一条小河.将军从草原的A地出发到河边饮水，然后再到B地军营视察.那么，他走什么样的路线行程最短呢？

解析：作点A（或B）关于直线l的对称点A′（或B′），连接A′B（或AB′）交直线l于点P，连接AP，其最短路线为A-P-B.

第二，模型应用.

1.轴对称的知识解决四边形中的最短路线问题

变式1：如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE.P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是多少？

分析：利用点B关于AC的对称点D进行求解.

解：如图2，连接DE交AC于点P，此时PB+PE的值最小.由轴对称得PB+PE=DE.在Rt△DAE中，AE=2，BE=6，AD=AE+BE=8.由勾股定理得DE=10，即PB+PE的最小值为10.

2.轴对称的知识解决圆中的最短路线问题

分析：作点D关于直径AB的对称点D′求解.

3.轴对称的知识解决函数中的最短路线问题

（1）求该函数的解析式.

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.

（1）求这条抛物线的函数表达式.

（2）已知在对称轴上存在一点P，使△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.

（2）连接AC，BC.因为BC的长度一定，所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小.B點关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P.

由待定系数法可知直线AC的表达式为y=-23x-2.endprint