赵浩宇 邓洪昌 苑立波

1)(桂林电子科技大学电子工程与自动化学院,桂林 541004)

2)(哈尔滨工程大学理学院,哈尔滨 150001)

Zhao Hao-Yu2)Deng Hong-Chang1)2)Yuan Li-Bo1)†

1)(Photonics Research Center,Guilin University of Electronics Technology,Guilin 541004,China)

2)(Key Laboratory of In-Fiber Integrated Optics,Ministry of Education,College of Science,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

1 引 言

无衍射光束,顾名思义是一种在传输过程中光波包络保持不变、没有衍射展宽过程的光束.由于此类光束在传输方向上任意垂直切面的光强分布始终保持相同无畸变,且能量强度高度局域化,所以自Durnin等推导发现以来[1−3],引起了研究者广泛关注.1979年,Berry和Balazs[4]以及Unnikrishnan和Rau[5]从薛定谔方程方程出发,成功求解出具有Airy函数形式的波包络解析解,从理论上证明了Airy光束的无衍射特性.

2007年,Siviloglou等[6,7]首次从理论和实验上得到了有限能量的Airy光束.自此,关于Airy光束研究开始加速,且不断展现出其非凡的特质,拓展了其应用空间.比如一些研究者使用其进行光俘获或导引[8−11],近场成像[12]、利用自由加速特性形成的自聚焦光斑进行微加工[13−15]、在大气中形成等离子通道[16]、激发曲线型表面等离子激元[17−19].在实验中,有限能量Airy光束一般可以采用高斯光束通过立方相位的调制,再经过傅里叶透镜实现.生成Airy光束的方法有很多,比如使用空间光调制器[7,20]、相位模板[16]、非线性光子晶体[21]、表面金属光栅结构等[22].我们则采用阵列光波导的光耦合来实现对输入高斯光场的强度和相位调控,从而生成Airy光束[23−31],此方法展示了一种新型的Airy光束产生技术,且由于光纤体积小巧、可集成高等特性,极具潜在应用价值.

本文从Airy光束原理出发,介绍了Airy光束的独特性质;讨论如何使用光纤构造Airy光场;详细阐述了基于阵列波导耦合机理能够实现光场的转换与重构的原理,以及高斯光场与Airy光场之间相互转换的能量特性和相位特性;并解释了基于Airy光纤的出射光场横向加速的彩虹效应,最后对Airy光纤潜在应用进行了简略的评述.

2 Airy光束

我们从二维有限能量Airy光束出发,其输入光场表示如下:

这样,有限能量的二维艾里光束在空间中的传输光场就可表示为

这里,Ai(sm)为艾里函数,ξx=z/kx20和ξy=z/ky20表示归一化传输距离,sx=−x/x0和sy=−y/y0为无量纲横向坐标,x0和y0为归一化坐标,am＞0是截断孔径函数,而vm与光束的初始入射角度θm相关[32],

图1(a)给出了有限能量艾里光束在z=0时的光强分布情况.从图中可看出,有限能量艾里光束非对称,且能量分布重心偏向光束主瓣.对比图1(b)和图1(c),可以发现高斯光束在直线传输过程中且发生衍射,而有限能量艾里光束的扩散则非常缓慢并且其传输路径总是朝着固定方向弯曲,因此有限能量艾里光束传输具有近似无衍射性,其传输的路径如同粒子在重力场中做抛物运动的轨迹，因此得名为“自由加速”.

图2(a)—(d)所示为只保留L型主边带情况下的二维有限能量Airy光束在自由空间XY平面的传输情况.主瓣位置在对角线上移动,L型主边带内部出现与二维Airy光束类似的内部旁瓣,即传输过程中能量发生转移并趋于还原成原有光束的形态.这种特性即Airy光纤第三大特性——自愈性.

3 Airy光纤结构设计

图1 二维有限能量Airy光束 (a)入射场振幅分布;(b)在自由空间中的传输图;(c)对应高斯光束的传输图(图中R为自定义坐标轴,该轴的方位角为225°)Fig.1.2D finite energy Airy beam:(a)The amplitude distribution at the initial plane;(b)side view of the propagation dynamic of the truncated 2D Airy beam;(c)the propagation distribution of the corresponding Gaussion beam.R is the 225°axis in cartesian coordinate system.

图2 二维有限能量Airy光束自愈特性示意 (a)—(d)L形主边带光场传输Fig.2.The self-healing property of the truncated 2D Airy beam:(a)–(d)The propagation dynamic of the Airy beam without internal lobes in free space.

图3 二维Airy光纤设计 (a)二维有限能量Airy光束L型主边带光场;(b)二维Airy光纤示意图;(c)沿坐标轴排布的纤芯阵列;(d)沿坐标轴的纤芯阵列折射率分布Fig.3.Design for 2D Airy fiber:(a)The truncated 2D Airy beam without internal lobes;(b)2D Airy fiber;(c)array-core distribution along X-axis(or Y-axis);(d)refractive index pro file of array-core along X-axis(or Y-axis).

由于自愈性的存在,形态非完备的L型主边带光场(见图3(a))可以近似理想的有限能量Airy光束,从这个特点出发,利用阵列芯光纤的纤芯光场来替代L型边带的主旁瓣,从而形成类Airy光束就成为可能.需要注意的是,由于远离中央主瓣的旁瓣能量逐渐减少至0,越远的旁瓣对光束性质的影响越小且几乎可忽略不计,因此用数量有限的纤芯替代主旁瓣理论上是可行的,这里我们使用9芯光纤来进行设计近似.如图3(b)所示,纤芯由两组相互垂直(X向和Y向)的纤芯阵列组成,且每组纤芯的大小、空间排布都如图3(c)所示满足或近似满足Airy函数.向中央纤芯输入光纤基模LP01或高斯光或后,如图3(d)所示,由于纤芯阵列折射率保持非均匀排布,光能量会从低折射率部耦合到高折射率部,从而让每个纤芯传输一部分能量进而形成L型边带光场.

图4(a)所示为波长980 nm情况下在9.7 mm长的二维Airy光纤横截端面处的光场分布.其出射光场几何分布近似图3(a)所示的二维有限能量Airy光束L型主边带光场,纤芯能量幅度同样近似Airy函数主旁瓣幅度大小.而出射光场在传输过程中,主瓣在R对角线方向进行自由加速偏转,且逐渐自愈形成多个容易区分的内部旁瓣(见图4(b)),充分体现了Airy光束的三大特性,也证明了使用阵列芯光纤生成的类Airy光束的可靠性.

图4 二维Airy光纤光场特性示意 (a)波长为980 nm时Airy光纤9.7 mm横截端面处出射光场;(b)出射光场在自由空间的传输示意Fig.4.The characteristics of the optical field for 2D Airy fiber:(a)The transversal output field from the end face of 9 mm Airy fiber at wavelength 980 nm;(b)the propagation dynamics of the output beam in free space in R direction.

4 Airy光纤内部光束生成机理

首先,我们采用超模理论来分析光波在Airy光纤中的传输[29−31]. 在二维阵列芯Airy光纤(图3(b))中,光波在波导之间的耦合可表示为下面的耦合方程:

把(5)式转化为其矩阵形式得

当向纤芯1(中央主芯)输入高斯光时,激发出纤芯基模LP01.由(9)式可求得各个超模的复振幅′i:

其中,A0=[1,0,···,0]为1×9的初始条件矩阵.由(10)式和(11)式就可得到在整个纤芯阵列传输的总电场:

通过(12)式就可计算出在Airy光纤二维阵列纤芯中光波的传输光场和各个纤芯的功率耦合曲线,如图5(a)和图5(b)所示.从图中可以发现,当Airy光纤中央主芯输入高斯光场时,光能量会逐渐耦合到外侧纤芯中,并且耦合到更外侧纤芯中的能量依次减少.这种阵列纤芯的耦合也呈现周期性,如图5(b)所示,其耦合周期T0为3.74 mm.图5(c)给出了在一个耦合周期内,光纤在不同长度Z=(3.5+m/6)T0时的输出光场分布,其中m为−3—3的整数,它们分别对应的光纤长度记作ZA到ZK.在前半周期内,即光纤长度从ZA到ZF时,光能量从中央主芯1耦合到侧芯(纤芯2—5或纤芯2′—5′)中,并且在ZF处得到最接近于理想的Airy光场,这样通过阵列波导的光场振幅和相位的调控就实现了高斯光场与Airy光场的转化;同样,在后半周期内,即光纤长度从ZF到ZK时,光能量又从侧芯耦合到主芯,并在ZK处得到了高斯光场,这样Airy光场又转化为高斯光场.因此,当采用高斯光场激发Airy光纤时,我们就可以分别用(2m−1)T0/2和mT0长的Airy光纤实现Airy光场和高斯光场的转化.

如上所述,Airy光纤可以实现周期性的高斯光场与Airy光场的转换,那么这种转换的具体机理是怎样的呢？下面我们采用在Airy光纤阵列波导中传输的超模耦合来分析这一转换机理.

图5 在二维阵列波导芯Airy光纤中光波的传输 (a)在XZ平面上的光场强度分布;(b)阵列纤芯各个纤芯传输光能量耦合曲线;(c)在纤芯1光功率耦合曲线上标记的点A到点K所对应的光纤横截面光场分布Fig.5.Wave propagation in Airy fiber:(a)Intensity pattern in the XZ plane;(b)the normalized power curves of arrayed cores as a function of fiber length;(c)intensity snapshots taken at planes as marked in light power curve of core 1.

由(10)和(11)式可以分别计算出在Airy光纤中传输的九个超模光场的振幅分布(见图6(a1)—(a9))以及对应的模式传输常数(参见图6中用“◦”表示的曲线).从图中可看出,由于Airy光纤阵列波导独特的折射率分布特性(见图3(d)),使得低阶超模能量主要分布在折射率较高的外侧纤芯中,而高阶超模能量则主要分布在折射率较低的中央纤芯及其邻近纤芯中.然而,由于采用了中央主芯的高斯光场激发,因此并不是所有9个超模都被激发,只有振幅分布关于X1轴(45°)方向对称分布的超模被激发,它们主要对应于模式数为3,5,7和9的超模(参见图6(b)中用“□”表示的曲线).其中,模式9占所有激发超模总能量的80%以上.从(12)式中可看出,当输入激励光场为高斯光场时,在Airy光纤输入端(Z=0)上超模光场的总光场即为高斯光场;而当Airy光纤长度为Z=mT0时,经过计算发现,超模传输的光程都为2π的整数倍,也就是,因此,此时的横向总光场仍为高斯光场当Airy光纤长度为Z=(2m−1)T0/2时,我们发现四个主要激发超模的相位差恰好为π,如图6(c)所示.这样就通过Airy光纤的波导耦合同时实现了对输入高斯光场的Airy强度和Airy相位的调制,输出类Airy光场,如图7(a)和图7(b)所示.同理想Airy光场类似,该输出光场不但满足Airy强度分布,并且其相邻光瓣之间的相位差为π,和激发超模的相位差相符(见图6(c)和图7(b)).

图6 Airy光纤的超模特性(a1)—(a9)分别对应于九个超模的振幅分布;(b)超模的振幅a′i和传输常数β′i曲线;(c)在Z=(2m−1)T/2处四个激发超模对于的相位分布Fig.6.The supermodes of Airy fiber:(a1)–(a9)Amplitude distributions of nine supermodes;(b)the amplitude a′iand the propagation coefficient β′ias a function of mode number i;(c)phases of four excited supermodes at Z=(2m−1)T0/2.

图7 Airy光纤输出光场特性 (a)在ZF=13.09 mm(3.5T)处Airy光纤输出横截面光场强度分布;(b)在X或Y轴上的强度(实线)和相位(虚线)分布曲线Fig.7.The intensity and phase properties of the output beam from Airy fiber:(a)The transverse intensity pattern of the output beam from ZD=13.09 mm(3.5T0)length of the Airy fiber;(b)the corresponding intensity and phase distributions along X-aixs(or Y-aixs).

5 光场横向加速的彩虹效应(波长响应)

在实验中,有限能量Airy光束一般通过对高斯光束的立方相位调制和傅里叶透镜变换实现,并且可以通过沿着垂直于光轴的方向平移傅里叶透镜来增加额外的初始相位,从而改变Airy光束的自由加速传输路径[32].由(1)式可知,Airy光束的初始附加相位可表示为

而Km=−vm/m0则表示附加相位Δφ关于x或者y的斜率.这样(4)式可变形为

利用(14)式,可通过Airy光束的初始附加相位的斜率K来计算出光束的初始入射角θ.当有限能量Airy光束的入射角分别为0和5 mrad时,它们的相位分布曲线分布如图8(a)中的实线和短划线所示.它们的相位之差是由入射角引起的额外附加相位Δφ,见图8(a)中的点线.由(14)式可知,利用附加相位Δφ的直线斜率就可求得此时的光束入射角:

(15)式的计算结果与实际相符.因此,通过这种方法,只要知道Airy光纤出射场的相位分布情况,就可以计算出光束的初始入射角,从而对出射光束的自由加速能力进行评估.从图8(b)中可看出,三束波长分别为970,980和990 nm,而初始入射角都为0的二维有限能量Airy光束在传输过程中,其光束主瓣的偏移量曲线几乎无法分开.然而,如果把980 nm波长的Airy光束的初始入射角变为5 mrad,其主瓣的偏移量曲线则明显地和其他曲线分离开.这说明初始入射角对理想二维有限能量Airy光束的自由加速影响巨大;初始入射角度越大,光束的偏移越明显,自由加速的能力越强.但光束波长的微小变化则对自由加速能力影响甚微.在阵列芯Airy光纤中,光波长的变化对其出射的近似Airy光场则表现出不一样的性质.

图8 一维有限能量Airy光纤的自由加速特性 (a)入射角分别为和5 mrad的光束的初始相位及其相位差曲线;(b)不同波长下光束主瓣随传输距离的偏移量变化曲线(插图为局部视图)Fig.8. Self acceleration of 2D Airy finite energy beam:(a)Phase distributions of two truncated Airy beams with different initial launch angle θm=0 and θm=5 mrad,the dotted line depicts the phase difference Δϕ of the two beams;(b)the parabolic trajectories of main lobes of the truncated Airy beams with different wavelengths,the enlarged image is shown in the inset.

当二维Airy光纤长度为9.7 mm时,图9给出了它在光波长为990,980和970 nm时的输出光场及其在自由空间中相应的传输图.除了输出光场的旁瓣能量都随着光波长的减小而出现明显的降低(见图9(a)—(c)),准Airy光场各个光瓣(特别是旁瓣或内部光瓣)在传输过程中的振幅衰减也明显增大(见图9(d)—(f)),“无衍射”能力也随之减弱.另外可以很明显地观察到光束朝着225°方向弯曲传输,且970 nm情况下的弯曲程度大一些.下面从Airy光纤出射的准Airy光场的相位分布特性出发来分析这些问题.

图9 二维Airy光纤出射光场的自由加速 (a)—(c)分别为在光波长为990,980和970 nm下Airy光纤的出射光场;(d)—(f)为对应在自由空间RZ平面上的传输光场Fig.9.The amplitude pro files of output beams from 2D Airy fiber with different incident wavelength:(a)λ=990 nm;(b)λ=980 nm;(c)λ=970 nm;(d),(c),(f)are corresponding to wave propagation of(a)–(c)along the 255°axis in free space,respectively.

图10(a)分别给出了在波长为990,980和970 nm时二维Airy光纤出射的准Airy光场相位曲线.图中点划线表示初始入射角为零的理想有限能量Airy光场的相位分布,其相位分布在π和2π之间周期变化.而准Airy光场的相位分布近似于立方相位分布,它们与理想Airy光场的相位差如图10(b).从图中可看出,光波长的不同导致Airy光纤出射的准Airy光场与理想Airy光场的相位差曲线产生分离,离中央主瓣越远(即是X,Y越大)的旁瓣相位差曲线分得越开.因此随着波长的改变,相位差曲线的变化趋势也发生相应变化,如图10(c)所示.这样,就得到了二维Airy光纤输出的准Airy光场相对于理想Airy光束的相位变化趋势.由(14)式可知,通过这些相位变化趋势直线的斜率就可求得Airy光纤输出的准Airy光场的等效初始入射角.对于二维Airy光纤的出射光场,在波长为990,980和970 nm时的相位变化趋势直线的斜率分别为:−0.0196,−0.0478和−0.0888,如图10(c)所示.这样,利用(14)式就可计算出相应的准Airy光场的初始入射角为3.1,7.5和13.7 mrad.

通过以上的分析可以发现,随着光波长的减小,Airy光纤出射的准Airy光场的初始入射角在增加.由此可以判断,随着光波长的减小,准Airy光场的自由加速特性在加强.如图11所示,准Airy光场的主瓣偏移量曲线随着光波长的不同而出现明显的分离,而偏移量的大小则体现了自由加速特性的强弱.当输入到光纤的光波长增加时,其输出的准Airy光束在传输过程中的偏移量减小,图中的结果显然与图9的分析结果符合.

图10 不同波长下二维Airy光纤的出射光场相位分布特性 (a)—(c)分别为出射场的相位分布、与理想Airy光束的相位差分布及其相位差变化趋势Fig.10.The phase characteristic of output beam from Airy fibers in different wavelength:(a)The real phase distributions of output beam,the dash-dot line depicts the phase pro file of the ideal Airy beam;(b)the additional phase of three output beams compared to ideal truncated Airy beam;(c)is corresponding to linear fitting curves of(b).

如果向阵列芯Airy光纤输入一窄带光源的话,那么其出射光场在传输过程中会出现“色散”,在光束抛物线形传输路径上,短波因其具有较强的自由加速能力而处于内侧,而长波因自由加速特性较弱而处于外侧.这与因阳光射到空中接近球形的小水滴造成色散及反射而成的彩虹现象类似,因此我们把这种波长响应特性称为彩虹效应.在实验中,改变理想有限能量二维Airy光束的传输路径(改变自由加速特性)的常用方法是通过平移傅里叶透镜来实现,而这里则利用阵列芯Airy光纤对光波长的调制来实现.这种波长调制异常敏感,可以到达纳米量级.从图中可以看出,光波长相差10 nm就可造成阵列芯Airy光纤出射光场的偏移量曲线的明显差异.

图11 在不同波长时两种阵列芯Airy光纤出射光场的主瓣随传输距离偏移量的变化(插图为彩虹示意图)Fig.11.De flection of main lobes of output beams from the Airy fibers as a function of propagation distance in free space.

图12 不同波长下环形Airy光纤输出光束在自由空间中传输的Z轴光强分布[31]Fig.12.Intensity curve of output beam from annularcore Airy fiber along Z-axis[31].

其他种类的Airy光纤具有类似的波长响应特性,比如环形Airy光纤出射光束在不同波长下其自聚焦点在Z轴上会产生偏移,但其强度几乎没有变化(如图12所示).这种光束横向偏移量随着入射波长变化而改变的特性为Airy光纤所特有,也为Airy光纤在不同领域的实际应用提供了多种可能.

6 Airy光纤的潜在应用

近年来,因为理论的逐渐完善,Airy光束的应用也得到了极大发展.由于光纤的优良特性,Airy光纤也得到了很多研究者的关注.如图13所示,Guan等[22]将单模光纤表面镀上金膜,并将部分金膜制成阵列光栅结构,光纤出射光只从第一个凹槽狭缝中出射并激发表面等离子波,因为凹槽阵列符合Airy结构,因此解耦出射光会形成极微小的准Airy光束,可广泛应用于光俘获、光束整形、光纤器件集成当中.

图13 光纤式等离子Airy光束生成器 (a)和(b)为金膜微结构光纤的横截面显微图;(c)不同传输距离光强监测图Fig.13.All- fiber Airy-like beam generator:(a)and(b)Scanning electron microscope images of the nanostructured gold-coated optical fiber facet;(c)images pro files at different distances.

巴斯大学的Gris-Sánchez等[33]则介绍了一种可以出射Airy斑模式的光纤,他们从原理函数出发,对每一个旁瓣进行模场函数的近似,从而合并形成近似的最佳模场匹配并由此获得实际光纤折射率分布,为实际制备Airy光束或其他新型光束光纤提供了新方法,光纤在波长1550 nm的情况下,衰减为11.0 dB/km,可应用到天文光信号长程传输领域.

使用二维Airy光束[13]和环形Airy光束可以进行材料微加工.如图15(a)所示,环形Airy光束汇聚后会形成贝塞尔光束,使得焦点附近为一个高强度的“长条”,并且不会很快弥散,利用该焦点强聚焦的性质可以进行大纵深的材料打孔.Airy光纤无疑拥有类似的应用前景,比如环形Airy光纤所出射的准环形Airy光束的焦点性质即与此类似.如图15(b)所示,在本文提及的光学下其焦点位置光强非常尖锐,归一化光强为入射光的6倍以上,增大环形纤芯的直径或者增加环形纤芯的数量都可以进一步增强聚焦能力,并且由于光纤的易集成性使得加工装置更加微型化.

图14 Airy斑生成光纤 (a)光纤横截面显微图;(b)光纤中的Airy斑模场近场图像Fig.14.The Airy disc fiber:(a)Optical micrograph of the Airy disc fiber;(b)measured near- field image of the output of the fiber when trying to excite the Airy mode.

图15 环形Airy光束材料的微加工应用 (a)材料微加工实验装置[15];(b)环形Airy光束焦点位置光强Fig.15.Materials processing by using abruptly autofocusing beam:(a)Experimental setup[15];(b)the transverse intensity pro file of focus of annular Airy fiber.

若将Airy光束用作光镊,其散射力可驱动微粒获得沿光束传输方向上的动量.如图16所示[34],Airy光束在无衍射传输段其主旁瓣泾渭分明,处于路径上的微粒会弯曲传输.所以一些研究者将其应用在微粒引导[9]、路径清扫[35],粒子分选等[36]方面,在生物化学、医疗领域有很好的前景.而Airy光纤可生成微小的Airy光束,同样可以实现以上功能,且理论上并无显微视场即操作范围的限制,可实现观测与微操装置的分离.

图16 Airy场下微粒传输示意Fig.16.The guiding effect of an Airy beam.

近几年还有报道Airy光束被应用改善显微镜近场成像分辨率[12]、产生和操控Airy型金属表面等离子体激元等[17−19]领域,逐渐呈现出完善Airy光束理论发展的同时,应用更加多样化、专业化的特点.且Airy型波包并不局限于光学、微波、声波、超声波、电子波等多领域,结合Airy光纤技术与这些领域建立有机联系,同样具有非常大的应用潜力.

7 结 语

本文从Airy光束的理论出发介绍了多种Airy光纤设计原理及其结构特点;基于耦合模理论讨论了光纤中传输场特点以及Airy场转换重构的原理;重点讨论了Airy光纤对波长的响应特点;对比Airy光束的实际研究意义,介绍了Airy光纤潜在的应用范围.我们认为:可生成准Airy光束的Airy光纤不仅可拥有Airy光束的多数已知优点,更因为本身光纤的易操控易集成等特点进一步地拓展了Airy光束的应用范围,使得此新型光束有了更大的发展前景.现阶段我们的工作主要体现在构造新型Airy光束及其生成机理方面,而研究复杂环境对Airy光纤的影响——比如力场、温度场、声场等多种感知量对Airy光场的影响——探索光纤传感方面的多重应用,会成为以后研究工作的重点之一.

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