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多角度解析一道二元条件无理式的值域

2018-01-08邹生书

中学数学杂志(高中版) 2018年5期
关键词:圆弧所求值域

邹生书

题目  若a≥0,b≥0,a+b=1,则 a+ 1 2  + b+ 1 2  的值域是 .

这是一道二元条件无理式的值域问题,条件等式与所求式子结构简洁轮换对称.本题短小精炼,内涵丰富,解法灵活多样,多角度解析这道题目可达到以点带面以少胜多,做一题通一类复习一大片的良好效果.下面给出该题的多角度思路分析与解答,希望对读者有所帮助. 思路1 轮换对称,猜想赋值求最值

解析1  这是一道二元条件无理式的值域填空题,注意到条件等式与所求式子轮换对称,根据经验猜想最值在变量相等或极端状态下取得.当a=b= 1 2 时, a+ 1 2  + b+ 1 2  =2;当a=0,b=1或a=1,b=0时, a+ 1 2  + b+ 1 2  =  6 + 2  2 <2.于是猜想 a+ 1 2  + b+ 1 2  的值域是[  6 + 2  2 ,2].

上述猜想是否正确呢?即[  6 + 2  2 ,2]是不是所求式子的值域呢?怎样理性地求解最大值和最小值呢?对于 a+ 1 2  + b+ 1 2  的最大值我们可用柯西不等式、均值不等式和琴生不等式三种方法求解,解法如下:

知a,b∈[0,1].由琴生不等式得 f(a)+f(b) 2 ≤f( a+b 2 )=f( 1 2 )=1,则f(a)+f(b)≤2,即 a+ 1 2  + b+ 1 2  ≤2,当且仅当a=b= 1 2 时等号成立.

评析  用柯西不等式、均值不等式、琴生不等式求解,只能求出最大值无法求出最小值.不等式法虽然有其独特的一面但有很大的局限性,最多只能求出最大值和最小值中的一个.求多元函数值域或取值范围问题的常用方法是函数法,通过构造函数同时也可结合不等式、几何图形来解决.

思路2 平方后将两个无理式变成一个无理式求解

解析2  设y= a+ 1 2  + b+ 1 2  ,两边平方得y2=a+b+1+2 ab+ 1 2 (a+b)+ 1 4  ,因为a+b=1,所以y2=2+2 ab+ 3 4  .

(用均值不等式和函数思想求值域)由均值不等式得1=a+b≥2 ab ,又a≥0,b≥0,所以0≤ab≤ 1 4 .当ab=0时,y2

min=2+ 3 = 4+2 3  2 =  ( 3 +1)2 2 ,所以ymin=  3 +1  2

=  6 + 2  2 .当ab= 1 4 时,y2max=4,所以ymax=2.

故 a+ 1 2  + b+ 1 2  的值域是[  6 + 2  2 ,2].

另解 (消元后用二次函數求值域)由a≥0,b≥0,a+b=1,得b=1-a,代入y2=2+2 ab+ 3 4  ,得y2=2+2 -a2+a+ 3 4  ,其中a∈[0,1].由二次函数图象和性质知,当a= 1 2 时,y2max=4,则ymax=2.当a=0或a=1时,y2min=2+ 3 ,得ymin=  6 + 2  2 .故 a+ 1 2  + b+ 1 2  的值域是[  6 + 2  2 ,2].

设z=x+y,则z就是过圆弧上的点(x,y)的直线l:z=x+y在y轴上的截距.由图知,当直线l过圆弧中点Q(1,1)时,直线l在y轴上的截距z=2最大;由于直线l与直线AB平行,所以当直线l过圆弧两端点时,直线l在y轴上的截距z=  6 + 2  2 最小.

解题有三个境界:就题论题,以题论法,以题论道.解法与境界因题而异因人而异,一题多解,一题多变,多题一法,要培养学生沟通题与题之间的联系,区分法与法之间的异同,构建知识网络,深化对问题的认识,提高分析问题和解决问题的能力,提升数学综合素质和核心素养.

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