徐 湛

(清华大学物理系,北京 100084)

费曼“疑难问题”初探

徐 湛

(清华大学物理系,北京 100084)

本文试图回答《费曼物理学讲义第3卷》第13-8节中提出的一个“疑难问题”，即该讲义导出了在有吸引性缺陷的一维晶格中，存在着一个处于能带上方的束缚态能级，那么其物理意义是什么？我们的分析方法包括：构造新的捕陷态，找出该问题的全部可能的解，以及对散射振幅重新进行解析延拓。各种方法导致的结论是一致的，即确实存在着费曼所说的那个处于能带上方的一个束缚态能级，然而该晶格的缺陷一定是排斥性的，而不能是吸引性的。

晶格缺陷；捕陷态；束缚能级；散射振幅；解析延拓

首先简单回顾一下《费曼物理学讲义第3卷》第13章前几节的内容。这一章以一维晶格为例介绍了固体物理中的主要概念。首先考虑的是一维无限长均匀晶格，这时哈密顿量矩阵的矩阵元是

(n∈,A>0)

其余的矩阵元为零，那么可以解得能量为

Ek=E0-2Acoskb,k∈(-π/b,+π/b]

其中b>0是晶格常数，所以

E0-2A≤Ek≤E0+2A

这就是能带。然后假设n=0处有一个缺陷，因而H00变为

H00=E0+F

其余的矩阵元不变。对于散射问题(13-6节)，在左方入射的情况下，假设

(k>0,xn=nb)

可以解得散射振幅为

因而散射几率为

注意：散射几率对于F>0(排斥性缺陷)和F<0(吸引性缺陷)是无法区分的。对于捕陷问题(13-7节)，假设

可以解得κ需满足

A(eκ b-e-κ b)=-F

由于κ,b>0，所以F一定<0，而捕陷态(束缚态)的能量是

不难发现

Eb

所以这个能量在能带以外并且在能带的下方。最后，在13-8节中，费曼把β的表达式写为

并且对根号进行解析延拓，也就是在|E-E0|>2A的时候写成

所以β变为

当F<0时，这个β会在

时出现极点，因此在

时出现束缚态。这里取“-”号的那个解已经在前面得到了，费曼的“疑难问题”问的是如何解释取“+”号的那个解(它在能带上方)的物理意义。

对于这个问题，我们的回答如下。

1 另一个捕陷态

在有缺陷的时候，振幅的形式除去前面所假设的以外，还可以假设为

它也可以写为

(κ>0,k=π/b)

就是说，它是从散射中心以波矢量k=±π/b向外传播并同时以指数形式衰减的波。代入能量本征方程，对于n≠0,±1得

E-E0=A(eκ b+e-κ b)

对于n=±1得

所以

a0=c=c′

再代入n=0的方程得

E-E0=F+2Ae-κ b

与E-E0=A(eκ b+e-κ b)比较，发现κ要满足条件

A(eκ b-e-κ b)=F

与前类似地，由于κ,b>0故F一定>0。由E-E0=A(eκ b+e-κ b)=2Acoshκb和

就得能量为

这正是在前式中取“+”号的那个能级。但是，与这里的条件F>0不同，在13-8节中费曼考虑的是F<0的情形，那么，在F<0的时候有这样的解存在吗？

2 一维无限长晶格含一个杂质情形的全部解

首先，对于n≠0总成立方程

(E-E0)an=-A(an-1+an+1)

所以

要让这个式子对任何n≠0成立，显然可以假设an-1/an和an+1/an与n(≠0)无关。考虑到n=0是分界点，可以假设an-1/an(对n≤-1)=an+1/an(对n≥+1)=α，它们都满足

所以现在

其中两个系数相等是由n=±1的方程决定的。为了使n→±∞时an有界，要求

记

α=e-β+iγ

那么|α|≤1导致

β≥0

同时

而它必须是实数，所以

(eβ-e-β)sinγ=0

这包含了3种情形：β=0,γ=0和γ=π，也就是说α=e-β+iγ是在单位圆上或者在单位圆的实轴直径上但挖去圆心。以下分别进行分析：

(1)β=0，所以α=eiγ,α+α-1=2cosγ,E=E0-2Acosγ，这就是能带内的能级(只不过原先把γ记做了kb)。此时F的值(包括它的正负)完全不影响能量，只决定了c和a0之间的关系。事实上，从n=0的方程

(2Acosγ+F)a0=2Aeiγc

可得

(2)γ=0，所以α=e-β,E=E0-A(eβ+e-β)(β>0)，这就是在能带下方的那个束缚态的能级，把它代入n=1的方程得a0=c，而n=0的方程成为

F=-A(eβ-e-β)<0

所以它在F<0时出现。

(3)γ=π，所以α=e-β+iπ=-e-β,E=E0+A(eβ+e-β)，这就是在能带上方的那个束缚态的能级，把它代入n=1的方程仍然得a0=c，而n=0的方程成为

F=A(eβ-e-β)>0

所以它在F>0时出现。

这样看来，只要an-1/an和an+1/an与n(≠0)无关，上面的解就是满足波函数有限条件的全部解而没有遗漏，但是其中没有F<0而E=E0+A(eβ+e-β)的解。显然，它只能出现在an满足一种复杂的递推关系但仍然保持(an-1+an+1)/an=常数(n≠0)的时候。有这种可能性吗？

对于n>0的那些系数(n<0的分析也类似)记

那么前面的方程就是

由此很容易发现α1和α2决定了全部的αn(n≥3)。特殊地说，如果取

α1=α2=α

甚至任意两个邻近的αm=αm+1=α，那么全体αn=α(n≥1)，而这正是前面分析过的情况，所以例外只能发生在α2≠α1(因而全体αn都不相等)。方程

可以改写为

α1α2一定<1，假设αn都是正数，那么就有

(α2-α3)>(α1-α2)

更一般地，有

因而

(αn+1-αn+2)>(αn-αn+1)

这意味着数列{αn}的相邻两项之差(只要这个差≠0)随着n的增加会被一步一步地放大，这将使这个数列根本不收敛。这种情形在物理上是应该排除在外的。

3 对散射振幅解析延拓的再分析

根据上述，我们并没有发现F<0的时候有取“+”号的解，这使我们对费曼所做的解析延拓是否恰当产生了怀疑。

让我们把散射振幅再次写出，

费曼把那个根号一股脑儿地做延拓，这是有问题的，因为那个根号的里边是能量的二次式，它和能量本身并非一一对应。正确的做法是把这个二次式做因式分解，写为两个一次式的乘积，即

它的极点是

这在F<0时出现，所以

(E-E0)2=4A2+F2

它的极点在

这在F>0时出现，所以

这里在根号前只取“+”号也是因为这个延拓的前提条件是E-E0>2A。这样进行的解析延拓，一方面更加自洽，另一方面也和直接计算的结果相同。

所以总括起来我们可以说：费曼所说的那个取“+”号的束缚态能量确实是唯一存在的，但条件是F>0而不是F<0。这就是我们对费曼的“疑难问题”给出的解答。

[1] 费曼R.P.,莱登R.B.,桑兹M..费曼物理学讲义第三卷[M].《费曼物理学讲义》翻译组，译.上海：上海科学技术出版社，1989.

[2] Feynman R P, Robert B.Leighton, Matthew L.Sands, The Feynman Lectures on Physics Volume Ⅲ[M]. Commemorative Issue, Pearson Education, Inc., Publishing as Prentice Hall Inc., 2004.

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简讯

清华大学本科教学审核评估工作圆满完成

2017年11月6日—9日，清华大学迎来了“普通高等学校本科教学工作审核评估”。不同于以往的评估，这次评估国家不设统一评估标准，主要看被评估高校是否达到了自身设定的目标，是用“自己的尺子量自己”。评估期间，专家共抽阅物理系1800多份《大学物理B1》期末试卷、40多份2013级本科毕业论文；听了两门物理系开设的基础课《大学物理B》(2) 和《费曼物理学》(3)，并看课若干门；此外，还与物理系部分本科生进行了座谈。

在由评估专家与清华物理系领导和老师共同参加的座谈会上，参会教师就评估专家提出的关于物理系目前师资队伍、教学投入、人才培养、教育理念实施等情况作了详细介绍，专家对物理系的本科教学工作给予了肯定。

在大家的共同努力下，清华大学本科教学审核评估工作圆满结束。

(摘编自清华大学物理系工作简报，原文由陈昌婷老师供稿)

APRELIMINARYSTUDYONFEYNMAN’S“PUZZLE”

XUZhan

(Department of Physics, Tsinghua University, Beijing 100084)

This paper tries to answer the “puzzle” in Section 13-8 of Feynman Lectures on Physics Volume 3, which claimed that in a one-dimensional lattice with an attractive imperfection there is a bound state above the energy band, and asked what its physical meaning is. Our analysis includes constructing a new trapped state, finding all possible solutions to the problem and reanalyzing the analytic continuation of the scattering amplitude. Various methods lead to a consistent conclusion that indeed there is an energy level of bound state above the energy band as Feynman said, but the lattice imperfection should be repulsive instead of attractive.

lattice imperfection; trapped state, bound state level; scattering amplitude; analytic continuation

2016-11-18

徐湛，男，教授，主要从事物理科研和教学工作，研究方向为理论物理，zx-dmp@tsinghua.edu.cn。

徐湛. 费曼“疑难问题”初探[J]. 物理与工程，2017，27(6)：27-30.

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